數(shù)理金融第八章二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險管理(存儲版)
【正文】 neutral probability 1. p is Riskneutral probability for all securities 。Linhui, Department of Finance, Nanjing University 1 金融風(fēng)險理論與模型 第 5章 二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險管理 2 概述 ? 二叉樹期權(quán)定價（ Binomial option Pricing Model）由 Cox,Ross,Rubinstein等人提出 ? 為期權(quán)定價模型為 BS模型提供一種比較簡單和直觀的方法 ? 二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和奇異期權(quán)）定價模型的基本手段 ? 對于所有不能給出解析式的期權(quán)，都可以通過二叉樹模型給出。 ? 投資者最終都一致風(fēng)險中性概率 p，它只取決于 r， u，d這三個客觀因子。 兩階段二叉樹定價模型 ?兩階段模型（ Twostep binomial tree) ?若把從定價日 t至到期日 T的時間區(qū)間 Tt，劃分為 2個階段，在每 1個階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格只可能取 2種狀態(tài)，上漲和下跌， 且上漲和下跌的幅度相等 ，則第2階段結(jié)束時候（ t=T），標(biāo)的資產(chǎn)價格的取值為 3個，并且令 h為每個階段的時間長度 22Tth ????17 兩階段模型示意圖 st ct su,cu u d u u d d sd,cd suu,cuu sud,cud sdd,cdd 其中， u＝ 1/d 18 ? 第 2期本來有 4種狀態(tài)，為簡化分析，不妨規(guī)定 u=1/d，則第 3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，故將其合并。 23 ? 標(biāo)的股票當(dāng)前價格為 St=S，而在以后任意一期，股價的變化有上升和下降兩個可能。當(dāng) n→∞ ，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨(dú)立同分布下的中心極限定理）。 1 .2rh hri f n p h n p p nX S n hm e u e hh???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?42 22 3 33222222( ) ( 1 ) l n( / ) 22l n( / ) 222l n( / ) 222()l n( / ) 2, 22n h rh h h X S n h hnhnhrnh nh nr h X S hnhrnrTtnh S Xnh r nhnh nrSnnX?? ? ? ?????????? ??? ? ?? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ?? ??21l n( / ) ( )2l i mnS X rd??????????43 deducing d2 222221 ,( 1 )1 / 2 l n( / )( ) 122 2/2( / 2) l n( / ) 2 l n( / ) ( / 2) np mi f n dnp pr X S n hnhhdnr nh X Snh nS X r??? ?????????? ? ????? ? ?????????44 Result: BlackScholes formula 1221221( 1 ) 1[ ( ] ( )( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )l n( / ) ( )( 1 )2( 1 )l n( / ) ( )12( 1 )rhrtrrhnpu e m np mc SN Xe Nnp p np pSN d Xe N dS X rnpu e mdnp pS X rnp mddnp p??????????????? ? ? ?????????????????? ? ? ??45 How to choose u and d ? Blackscholes model assume the motion of stock price satisfies the Geometry Brown motion or logarithm normal distribution 222222 l n ~ [ l n ( / 2 ) , ]l n l n ~ [ ( / 2 ) , ]l n ( / ) ~ [ ( / 2 ) , ]TTTs N Ss S Ns S N? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ??? c onsta nt .tS s is as we hav e k nown at pre se nt ti m e t?46 How to choose u and d l n l n ( ) l n l n( / ) l nj n j TTss Su d j u n j dSj u d n d?? ? ? ? ???2( ) , ( ) ( 1 ), ~ ( , )(l n / ) [ l n( / )] l n l n( / ) l n [l n / ] ( 1 ) l n ( / )TTE j qn D j nq q i f j b n qE s S E j u d n dnq u d n dD s S nq q u d? ? ?? ? ?????In binomial model, we assume q is probability of stock price up in real worlds. 47 How to choose u and d 222( l n / ) l n ( / ) l n ( / 2 )[ l n / ] ( 1 ) l n ( / )TTE s S n q u d n dD s S n q q u d? ? ???? ? ? ? ???? ? ???2 , , , if we hav e k nown for m atc hing u d and q? ? ?2 2 2 20112 2 22201122 2220 , 0 , l i m [ 1 ( ( / 2) / ) ]l i m { 4 [ 1 ( ( / 2) / ) ] [ 1 ( ( / 2) / ) ] } / 41 ( ( / 2) / ) 1 ( ( / 2) / )l i m { [ ] [ ] } 422hhhi f n h hh h h hhhnh? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??48 122 2l n ( / ) 4 l n ( / ) 2u d h u d h??? ? ?11222122212 l i m l n( / ) l n1 ( ( / 2) / )[ ] 2 l n2( / 2) l nl i m l n( / ) l n ( / 2) l n 0nnhhnq u d n dhn h n dn h n dnq u d n dn h n d d e u e??? ? ??? ? ? ?? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?49 So, we find one solve of the equation 122 2,1 ( ( / 2) / ) 1 / 22 2 2hhd e u ehqh??? ? ? ? ?????? ? ?? ? ?In riskneutral world, the return of securities must be r, which means 122 21 ( ( / 2) / ) 1 / 22 2 2r h rph? ? ??? ? ?? ? ?50 Disscusion: Choosing u and d ? We h
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