【正文】 ， 代 回 原 式 得 ： / 2 0 V ? ? (1 ? ?10 ?6V) A V 由 此 可 見 ， 隨著 加 速 電 壓 逐 漸 升 高 ， 電子 的 速 度 增 大 ， 由 于 相 對(duì) 論 效 應(yīng) 引 起 的 德 布 羅 意 波 長(zhǎng) 變 短 。 上述 結(jié) 果 不 但 適 用 于 圓 軌 道 ， 同 樣 適 用 于 橢 圓 軌 道 ， 試 證 明 之 。 橢 圓 軌 道 的 量 子 化 條 件 是： ? p? d? ??? pr dr ??其中 n? h nr h i i ?? ??2 pr ? m r , p? ? mr ??? ? ( prdr? p?d?) ? nh, 其 中 n? n? ? nr ? ??而 ( p dr ? p d?) ?? (mrdr ? mr2 ?d?) ? r ? ??? ? mrdrdt ? mr2 ? d? dt ? ??( ) dt dt ? ? mv2 dt ? ? mvds h ds ? ? ds ? h ??r ??ds ? ? ? ? n 因 此 ， 橢 圓 軌 道 也 正 好 包 含 整 數(shù) 個(gè) 德 布 羅 意 波 波 長(zhǎng) 。 當(dāng) 觀 察 能量為 1000 電 子 伏 特 的 電 子 徑 跡 時(shí) 其 動(dòng) 量 與 精 典 力 學(xué) 動(dòng) 量 的 相 對(duì) 偏 差不 小 于 多 少 ？ 解 ： 由 題知 ,電 子 動(dòng)能 K=1000 電 子 伏 特 ， ?x ? 10 ?6 米 ， 動(dòng) 量 相 對(duì) 偏 差 為 ?p/ p。 證 明 自 由 運(yùn) 動(dòng) 的 粒 子 （ 勢(shì) 能 V ? 0 ） 的 能 量 可 以 有 連 續(xù) 的 值。 粒 子 位 于 一 維 對(duì) 稱 勢(shì) 場(chǎng) 中 ， 勢(shì) 場(chǎng) 形 式 入圖 31，即 0? x ? L,V ? 0 x ? 0 , x? L,V ?V0 （ 1）試 推 導(dǎo) 粒 子在 E ? V0 情 況 下 其 總能量 E 滿 足 的 關(guān) 系 式 。 解 ： 為 方 便 起見 ,將 勢(shì) 場(chǎng) 劃 分 為 Ⅰ? Ⅱ ? Ⅲ 三 個(gè) 區(qū) 域 。 dx2 h 2 ( x) ( x) d2? 2??Ⅰ 區(qū)： ? ?2? ? 0其 中 ?2 ? (V ? E ) dx2 h2 0 波 函 數(shù) 處 處 為 有 限 的 解 是 ： ? (x ) ? Ae?x , A是一任意常數(shù) 。 d2? 2??Ⅲ 區(qū)： ? ?2? ? 0其 中 ?2 ? (V ? E ) dx2 h2 0 處 處 有 限 的 解 是 ： ? (x ) ? De ??x , D是任意常數(shù)。 （ 2） 有 上 式 可 得： ? ? tg( n? ? ?L ? 2 2 ?tg ?L ??n ?偶數(shù)，包括零 ? { ctg 2 ?L ??n ?奇數(shù) 2 ?L ? ?(?L )ctg ?L 2 亦即 ?L ? (?L )tg ?L 2 令 ?L ? u ,?L ? v， 則 上 面 兩 方 程 變 為： v ? ?utg u ??（ 1） 2 v ? utg u ??（ 2） 2 另 外 ， 注 意 到 u和 v還 必 須 滿 足 關(guān) 系 ： u2 ? v2 ? 2?V L2 / h2 ??（ 3） 所 以 方 程（ 1） 和 （ 2） 要 分 別 與 方 程 （ 3） 聯(lián) 立 求 解。勢(shì)箱的長(zhǎng)、寬、高分 別 為 a、 b、 c在 勢(shì) 箱 外 ， 勢(shì) 能 V ? ? ； 在 勢(shì) 箱 內(nèi) ， V ? 0 。 解 ： 勢(shì) 能 分 布 情 況 ， 由 題 意 知： Vx ? 0,0 ? x ? a。 Vz ? 0,0 ? z ? c。 令 ?(x, y , z ) ? X(x )Y( y )Z(z ) 代 入（ 1） 式 ， 并 將 兩 邊 同 除以 X(x )Y( y )Z(z ) ， 得 ： 1 d2 X ( ??2m V ) ? ( 1 d2Y ??2m V ) ? ( 1 d2 Z ??2m V ) ? ??2mE X dx2 h2 x Y dy2 h2 y Z dz2 h2 z h2 方 程 左 邊 分 解 成 三 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 部 分 ， 它們 之 和 等 于 一 個(gè) 常 數(shù) 。 由 此 ， 得 到 三 個(gè) 方 程 如 下： 1 d2 X ??X dx2 2m 2 Vx ? ??h 2m 2 E x h 1 d2Y ??Y dy2 2m 2 V y ? ??h 2m 2 E y h 1 d2 Z ??Z dz2 2m 2 Vz ? ??h 2m 2 E z h 其 中 E ? E x ? E y ? E z , E x , E y , E z皆為常數(shù)。 而粒 子 的能 量 相 當(dāng) 于 三 個(gè) 一 維 箱 中 粒 子 的 能 量 之 和 。 求 鋰 原 子 第 一 激 發(fā) 電 勢(shì) 和 電 離 電 勢(shì) 。 輔線 系 系 限 波 長(zhǎng) 是 電 子 從 無 窮 處 向 第 一 激 發(fā) 態(tài) 躍 遷 產(chǎn) 生 的 。 e ? ? ???? ?? Na原 子 的基態(tài) 3S。 試求 3S、 3P、 3D、 4F 各 譜 項(xiàng) 的 項(xiàng) 值 。已知 K 原子的基態(tài) 4S。 當(dāng) 把 Li 原 子 激發(fā)到 3P 態(tài) 后 ， 問當(dāng) 3P 激 發(fā) 態(tài) 向 低 能 級(jí) 躍 遷時(shí) 可 能 產(chǎn) 生 哪 些 譜 線 （ 不 考 慮 精 細(xì) 結(jié) 構(gòu) ）？ 答 ： 由于 原 子 實(shí) 的 極 化 和 軌 道 貫 穿 的 影 響 ， 使堿金 屬 原子中 n 相同 而 l 不 同 的 能 級(jí) 有 很 大 差 別 ， 即堿 金 屬 原 子 價(jià) 電 子 的 能 量 不 僅 與 主 量子數(shù) n 有 關(guān) ， 而且 與 角 量子數(shù) l 有 關(guān) ， 可 以 記為 E ? E (n,l ) 。 當(dāng)從 3P 激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)，考慮到選擇定則： ?l ? ?1 ，可能產(chǎn)生四條光譜，分別由 以 下 能 級(jí) 躍 遷 產(chǎn) 生 ： 3P ? 3S 。2P ? 2S 。 為什 么 譜項(xiàng) S 項(xiàng)的 精 細(xì) 結(jié) 構(gòu) 總 是 單 層 結(jié) 構(gòu) ？ 試 直 接 從 堿 金 屬 光 譜 雙 線 的 規(guī) 律 和從 電 子 自 旋 與 軌 道 相 互 作 用 的 物 理 概 念 兩 方 面 分 別 說 明 之 。 第二 輔 線 系 每 一 條 譜 線的 二 成 分 的 間 隔 相 等 ， 這必 然 是 由 于 同 一 原 因 。 最低 P 能 級(jí) 是 這 線 系 中 諸 線 共 同 有 關(guān) 的 ， 所以 如 果 我 們 認(rèn)為 P 能 級(jí) 是 雙 層 的 ， 而 S 能 級(jí) 是 單 層 的 ， 就 可 以 得 到 第 二 輔 線 系 的 每 一 條 譜 線 都 是 雙 線 ， 且 波 數(shù) 差 是 相 等 的 情 況 。 主 線 系是諸 P 能 級(jí) 躍 遷 到最低 S 能 級(jí) 所 產(chǎn) 生 的 。 這樣 的 推 論 完 全符 合 堿 金 屬 原 子 光 譜 雙 線 的 規(guī) 律 性 。 堿金 屬 能 級(jí) 的 精 細(xì) 結(jié) 構(gòu) 是 由 于 堿 金 屬 原 子 中 電 子 的 軌 道 磁 矩 與 自 旋 磁 矩 相 互 作 用 產(chǎn)生 附 加 能 量 的 結(jié) 果 。 計(jì) 算 氫 原 子 賴 曼 系 第 一 條 的 精 細(xì) 結(jié) 構(gòu) 分 裂 的 波 長(zhǎng) 差 。 根據(jù) 選 擇 定 則 ， 躍 遷 只 能 發(fā) 生 在 2 2 P ? 12 S 之 間 。 氫 原 子 能 級(jí) 的 能 量 值 由 下 式 決 定 ： E ? ? Rhc (Z ? ?) n2 Rhca2 (Z ? S) 4 ??n 3 ? ( 1 j ? =1 2 ? 3 ) 4n 其中 (Z ? ?) ? (Z ? S) ? 1 2 2 c ? E (2 P3 / 2 ) ? E (1 S1 / 2 ) ? h 1 hc ? ?1 ? 2 2 E (2 2 P3 / 2 ) ? E (1 2 S1 / 2 ) c ? E (2 P1 / 2 ) ? E (1 S1 / 2 ) ? h ? 2 hc ? ? 2 ? 2 2 因 此 ， 有 ： E (2 P1 / 2 ) ? E (1 S1 / 2 ) ?? ? ? 2 ? ?1 ??hc[E (2 2 P ) ? E (12 S1 / 2 )] [E (2 2 P ) ? E (12 S1 / 2 )][E (2 2 P1 / 2 ) ? E (1 S1 / 2 )] E (2 2 P ) ? ?R 16 ? a 3 / 2 hc 64 2 E (2 2 P ) ? ?R 16 ? 5a 1 / 2 hc 64 2 E (12 S ) ? ?Rhc 4 ? a 4 將 以 上 三 個(gè) 能 量 值 代入 ?? 的 表 達(dá) 式 ， 得 ： 6 7 4a2 ?? ? 64 ? 1 48 ? 11a2 64 48 ? 15a2 R ??64 ? 64 4a2 R (48 ? 11a2 )(48 ? 15a2 ) ???? ? ?10 ?13 米 ? ?10 ?3 A Na原 子 光 譜 中 得 知其 3D 項(xiàng) 的 項(xiàng) 值 T3D ? ?106 米 ?1 ， 試計(jì) 算 該 譜 項(xiàng) 之 精 細(xì) 結(jié) 構(gòu) 裂 距 。 其 中 N0 是 能 量為 E 0 的 狀態(tài) 的 原 子 數(shù) ， g和 g 0 是 相 應(yīng) 能 量 狀 態(tài) 的 統(tǒng) 計(jì) 權(quán) 重 ， K 是 玻 爾 茲 曼 常 數(shù) 。 試估算此 氣體 的 溫 度 。 解 ： 相 應(yīng) 于 ?1， ? 2 的 能 量 分 別 為 ： E1 ? hc/ ?1 。 問可 能 組 成 哪 幾 種 原 子態(tài) ?用 原 子 態(tài)的 符 號(hào) 表 示 之 。 1 解 ： 因 為 l1 ? 1,l 2 ? 2, s1 ? s 2 ? ， 2 S ? s1 ? s 2 或 s1 ? s 2 。 L ? 3,2,1 所 以 可 以 有如下 12 個(gè) 組 態(tài)： L ? 1 , S ???0 , 1 P L ? 1 , S L ? 2 , S 3 0 , 1 , 2 ? 0 , 1 D L ? 2 , S L ? 3 , S L ? 3 , S ? 1 , 3 D ? 0 , 1 F ? 1 , 3 F 2 1 , 2 , 3 3 2 , 3 , 4 已知 He 原 子的 兩 個(gè) 電 子 被 分 別 激 發(fā) 到 2p 和 3d 軌 道， 器 所 構(gòu) 成 的 原 子 態(tài) 為 3 D， 問這兩電子的軌道角動(dòng)量 pl1與 pl2 之間的夾角，自旋角動(dòng)量 p s1與 p s2 之間的夾角分別為多 少？ 解 ： （ 1） 已 知 原 子 態(tài) 為 3 D， 電 子 組 態(tài)為 2p3d ? L ? 2, S ? 1,l1 ? 1,l 2 ? 2 P 0 1 2 2 2 P 2 2 2 S 因 此 ， pl1 ????h l1 (l1 ? 1) ? 2??2??pl2 ???PL ??l 2 (l 2 ? 1)? ? 6??L (L? 1)? ? 6??L ? pl1 ? pl2 ? 2 pl1 pl2 cos?L ? cos???? (P 2 ? p 2 ? p 2 ) / 2 p p ? ? 1 ?L （ 2） L L l1 l2 ? 106? 4639。 s1 s2 3 鋅原子 （ Z=30）的最外層電子有兩個(gè)，基態(tài)時(shí)的組態(tài)是 4s4s。 試求出 LS 耦 合 情 況 下 這 兩 種 電 子 組 態(tài) 分 別 組 成 的 原 子 狀 態(tài) 。 從 （ 1）和 （ 2） 情況 形 成 的 激 發(fā) 態(tài) 向 低 能 級(jí) 躍 遷 分 別 發(fā) 生 幾 種 光 譜 躍 遷？ 解 ： （ 1） 組 態(tài)為 4s5s 時(shí) ? L ? 0, S ? 0,1 1 l1 ? l 2 ? 0, s1 ? s 2 ? ， 2 S ? 0時(shí) ， J ? L ? 0, 單重態(tài) 1S S ? 1時(shí) 。 0 1 1 0 53S ?43P。 （ 2） 外 層 兩 個(gè) 電 子 組 態(tài)為 4s4p 時(shí)： 1 l1 ? 0,l 2 ? 1, s1 ? s 2 ? ， 2