【正文】 和 ()ht 中的自變量 t 換成 ? 時(shí)，得 x ( ),?????? ?? ? ???????0 22 2 20 2 ??????????2,020,10,0)(????h 波形分別如圖 25(a)和 25(b)所示。將 ()h?? 移位，得 ()ht?? ，因此 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dy t x t h t x h t? ? ????? ? ? ?? （ 1）當(dāng) ??? ??t 2 時(shí)， ()x? 與 ()ht?? 沒(méi)有重疊部分，波形如圖 25(d)所示，其乘積為零，故 () 0yt? 。在 ( 2, )t?的范圍內(nèi)， ()x? 與 ()ht?? 有重疊部分，于是 22( ) ( ) ( ) d 2 1 d 2 ( 2 )tty t x h t t? ? ? ???? ? ? ? ? ??? （ 3）當(dāng) 02t?? 時(shí)， ()ht?? 完全處于 ()x? 的范圍內(nèi)，波形如圖 25(f)所示。在 ( 2,2)t?的范圍內(nèi)， ()x? 與 ()ht?? 有重疊部分，于是 22( ) ( ) ( ) d 2 1 d 2 ( 4 )tty t x h t t? ? ? ???? ? ? ? ? ??? （ 5）當(dāng) 4t ? 時(shí)， ()x? 與 ()ht?? 沒(méi)有重疊部分，波形如圖 25(h)所示。 歸納上述計(jì)算結(jié)果，得 ????????????????????42 ,2820 ,402 ,424o r 2 ,0)(tttttttty 卷積結(jié)果波形如圖 25(i)所示。由信號(hào)表達(dá)式畫(huà)出信號(hào)波形，如圖 26所示。通常卷積中出現(xiàn)積分區(qū)間的變化是由于參與卷積的信號(hào)是由折線組成的，所以我們?cè)趫D解之前先找出信號(hào)的拐點(diǎn)，如圖 26（ a）中 1()ft 波形的 a 、 b 點(diǎn)及圖 26(b)中 2()ft波形的 c 、 d 點(diǎn)。積分區(qū)間如何變化，要根據(jù)具體情況判斷。當(dāng) 2()ft?? 中 1t? 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)不重合， 12( ) ( ) 0f t f t??； 1t? 時(shí)，拐點(diǎn) c 和 a 相遇，說(shuō)明 12( ) ( )f t f t? 出現(xiàn)拐點(diǎn)，即 12( ) ( ) 0f t f t??；當(dāng) 2t? 時(shí)，拐點(diǎn) c 、 b 和 d 、 a 相遇，說(shuō)明 12( ) ( )f t f t? 又出現(xiàn)拐點(diǎn)；當(dāng) 12t?? 時(shí)， 12( ) ( )f t f t? 無(wú)拐點(diǎn)，表明在 12t?? 內(nèi)是一個(gè)積分區(qū)間，即在 12t?? 時(shí)，有 11 2 1 2 022( ) ( ) ( ) ( ) d ( 1 ) d11 1 1( 1 )02 2 2tf t f t f f tt t? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ??? 當(dāng) 2t? 時(shí)，拐點(diǎn) c 、 b 、 d 、 a 相遇， 12( ) ( )f t f t? 出現(xiàn)拐點(diǎn)；當(dāng) 3t? 時(shí)，拐點(diǎn) d 、 b相遇，表明 12( ) ( )f t f t? 又出現(xiàn)拐點(diǎn)；當(dāng) 23t?? 時(shí)， 12( ) ( )f t f t? 無(wú)拐點(diǎn)，說(shuō)明在 23t??時(shí)為一個(gè)新的積分區(qū)間。 12( ) ( )f t f t? 波形如圖 27 所示。 2 d( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ] ( 1 ) ( 2 )dd f t u t u t t td t t ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 012222( ) d ( 1 ) [ ( ) ( 1 ) ] d ( 1 ) d ( 1 ) d11( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )01221 1 1[ ( 1 ) ] ( ) [ ( 1 ) 4 ] ( 1 )2 2 2t t t tf u uttu t u tt u t t u t? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 221222222 2 21 1 1( ) ( ) { [ ( 1 ) ] ( ) [ ( 1 ) 4 ] ( 1 ) } [ ( 1 ) ( 2 ) ]2 2 21 1 1 1( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] ( 2 )2 2 2 211( 2 ) ( 2 ) [ ( 1 ) 2 ] ( 3 )221 1 1 3( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 )2 2 2 2f t f t t u t t u t t tt u t t u tt u t t u tt u t t t u t t t u t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 212 20 ( 1 )( 1 ) / 2 ( 1 2)( ) ( )/ 2 3 / 2 ( 2 3 )0 ( 3 )tttf t f tt t tt???????????????????????????? ??? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ???? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ???????????????????????????? ?? 27 解： 此題利用卷積的微積分性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。( )tzsy t f t h t f h t????? ? ? ?? 0 0 2( ) d si n [ ( ) ( 2) ] d si n ( ) d si n ( 2) d11c os ( ) c os ( 2)0211( 1 c os ) ( ) ( c os 1 ) ( 2)11[ ( ) ( 2) ] c os [ ( ) ( 2) ]t t t tf u u u uttu t u tt u t t u tu t u t t u t u t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 39。 設(shè)第二個(gè)回路電流為 2()it，方向如圖 29所示。 ① 在 ()ft 的作用下（將電源 E 短路），有 1 2 2 22 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0ffR R i t R i t f tR i t R R L p i t? ? ????? ? ? ??? 代入元件參數(shù)，整理得 224 ( ) 2 ( ) ( )2 ( ) ( 4 ) ( ) 0ffi t i t f ti t p i t?????? ? ??? 解得 4 1 1( ) ( ) (1 ) ( )4 1 2 4 3f pi t f t f tpp?? ? ??? 所以 31( ) ( ( ) ) ( )4 tfh t t e u t? ??? 3 3 311( ) ( ) { [ ( ) ] ( ) } { ( ) } ( 1 ) ( )44t t tffi t h f t t e u t e u t t e u t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ② 在 E 的作用下，有 224 ( ) 2 ( ) 02 ( ) ( 4 ) ( )EEi t i ti t p i t E???? ? ? ?? 解得 2 1 1() 4 1 2 2 3E Ei t Epp?? ? ? ??? 故 31( ) ( )2 tEh t e u t??? 3312( ) 4 ( ) { ( ) } { 4 ( ) } ( 1 ) ( )23ttEEi t h u t e u t u t e u t??? ? ? ? ? ? ? （ 2）求零輸入響應(yīng) ()ziit 初始條件 (0)i ? 的確定：此題中由電路可分析出 0t? 時(shí)， S 斷開(kāi)， (0 ) 1LiA? ? ，但在0t? 時(shí)刻 S 閉合， ()it 在電源 ()ft 及 (0 ) 1LiA? ? 的共同作用下，使得 (0) 0i ? ? ，3 0(0 ) 1t tfe ??????， ()Lit在 0t? 時(shí)刻也不能突變。故 3( ) ( )tzii t Ce u t?? 1(0 ) 2iC? ?? ? 因此 31( ) ( )2 tzii t e u t??? 3 3 3 3331 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 25 1 2( ) ( )1 2 4 3t t t tf E z itti t i t i t i t e te e e u te te u t? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 31 已知信號(hào) ()ft 波形如圖 31 如示，其中， 12A? ， 2T? 。 （ 2）求級(jí)數(shù) 1 1 11 3 5 7S ? ? ? ? 之和。 ()E02?2?? t 圖 32 半波余弦脈沖波形 33 已知信 號(hào) 1()ftt? ，求 [ ()]Ff t 。 （ 1） 21()F ??? （ 2）2 21()F ? ?? （ 3） 3 ( ) ( )aF e u????? 35 用 帕什瓦爾定理計(jì) 算積分 4S ( )da t t???－。 1 ()ft t0 1 2 ()ft t123?2?3? 0a ()b 圖 33 1()ft， 2()ft的波形圖 37 若對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行理想抽樣，求下列信號(hào)的奈奎斯特頻率 Nf 和奈奎斯特間隔 NT 。 1 ()ft 2 ()ftt t0 0(1)sT2? 2?? ()a ()b 圖 34 三解脈沖及抽樣函數(shù)波形圖 39 已知一個(gè)零狀態(tài) LTI系統(tǒng)的微分方程為 3232d d d d 1 0 8 5 ( ) = 1 3 7 ( )d d d dy y y xy t x tt t t t? ? ? ? 試求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 311 已知電壓信號(hào) ()et 如圖 35（ a）所示，作用于圖 35（ b）的系統(tǒng)上，求響應(yīng)的電流 2()it ettT01 ??()et1?3?1R 2RL1H2 ()it()b()a 圖 35 例 的波形圖和電路圖 312 求階躍信號(hào)作用于圖 36的 RC 高通濾波器的零狀態(tài)響應(yīng)，并用頻譜圖對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。 314 已知電路如題圖 37 所示，輸入為 ()it ，輸出為 ()t? 求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ()Hj? ，欲使系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，確定 12,RR。 ()yt帶 通 濾 波 器()ftst 1 ()H ?990 10110099?101? 100?()a ()b1 ()ft圖 38 系統(tǒng)圖及幅頻特性圖 31 解： （ 1） ()ft 為 2?T 的奇函數(shù)，又是奇諧函數(shù)，0 2T?????，因此 ()ft 的傅里葉級(jí)數(shù)只有正弦函數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)。( ) ( sin ) [ ( ) ( ) ] c o s [ ( ) ( ) ]2 2 2 2sin [ ( ) ( ) ]22f t E t u t u t E t t tE t u t u t? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 222239。( ) c o s [ ( ) ( ) ] sin [ ( ) ( ) ]2 2 2 2( ) ( ) ( )22EEf t t u t u t t t tEEf t t t? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2239。( ) ( ) ( ) ( )22EEf t f t t t? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? 因?yàn)?39。( ) d 0 F [ 39。( ) ] 0f t t f t ?? ??? ? ? ??，039。( ) ] 0f t t f t ?? ??? ? ? ?? 由傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì)可知 2F[ 39。( )] ( )f t F???? 所以 22 222 2( ) ( ) [ ] c o s 2jjEEF e e? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ])(1[2c o s2)(2??????????EF 33 解： 解法一：利用對(duì)稱性求解。 由對(duì)稱性有 ???? s g n)s g n(221 jjt ????? 解法二：利用頻域積分性質(zhì)求解。39