【高數(shù)課件】第七章拉普拉斯變換-閱讀頁
2025-01-13 12:29本頁面
【正文】 4 ]d s sd s s s s s??? ? ?? ? ? ?2022/1/4 17 2．延遲性質(zhì) 若 [ ( )] ( )L f t F s? ， 0t ?又當 時， ( ) 0,ft? ?則對任一非負實數(shù) 有：[ ( ) ] ( )sL f t e F s?? ??? ，或 1 [ ( ) ] ( ) .sL e F s f t? ??? ??證明： 由定義 0[ ( ) ] ( )sL f t f t e d t????? ?? ? ??0 ( ) ( )ssf t e d t f t e d t? ?????????? ? ? ???() sf t e d t?? ??? ????()0 ()suf u e d u??? ??? ?()tu???令0 ( ) ( ) .s s u se f u e d u e F s????? ? ????00[ ( ) ] ( )jtF f t t e F? ???? ，2022/1/4 18 ? 例 7． 求函數(shù) 0,()1,tutt??????? ???的拉氏變換． 解： 已知 1[ ( )] ,L u ts?由延遲性知 11[ ( ) ] .ssL u t e ess??? ??? ? ?? 例 8． 求函數(shù) ( ) (3 5 )f t u t?? 的拉氏變換． 解： 因為 55( 3 5 ) [ 3 ( ) ] ( ) ,33u t u t u t? ? ? ? ?1[ ( )]L u ts?所以 5351[ ( 3 5 ) ] [ ( ) ] .3sL u t L u t es?? ? ? ?2022/1/4 19 ?五、周期函數(shù)的拉氏變換 設 ( ), 0f t t ? [ 0 , ) T??是 內(nèi)以 為周期的周期函數(shù)， ()ft且 在一個周期內(nèi)逐段光滑，則 01[ ( ) ] ( ) .1 T stsTL f t f t e d te ??? ? ?證明： 由定義有 0[ ( ) ] ( )stL f t f t e d t?? ?? ?0 ( ) ( )T s t s tTf t e d t f t e d t????????1 ()t t T f t??第二個積分作變換 ，且利用函數(shù) 的周期性，有[ ( )]L f t 11100( ) ( )T sts t s Tf t e d t f t e e d t?? ???????0 ( ) [ ( ) ]T s t s Tf t e d t e L f t?????01[ ( ) ] ( ) .1T stsTL f t f t e d te??? ? ?于是，2022/1/4 20 幾個常用函數(shù)的拉氏變換 22221[ ( ) ] 11[ ( ) ] , R e ( ) 01[ ] , R e ( )[ si n ] , R e ( ) 0[ c os ] , R e ( ) 0( 1 )[ ] , R e ( ) 0atmmLtL u t ssL e s asaaL at ssasL at ssamL t ss??????????????????2022/1/4 21 ?六、卷積與卷積定理 1．卷積的概念 前面討論兩函數(shù)傅氏卷積為 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,f t f t f f t d? ? ?????? ? ??12( ) , ( )f t f t若函數(shù) 滿足： 120 ( ) ( ) 0t f t f t? ? ?當 時， ，則 01 2 1 2 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttf t f t f f t d f f t d f f t d? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ?120 ( ) ( ) .t f f t d? ? ????1 2 1 20 ( ) ( ) ( ) , ( )t f f t d f t f t? ? ???稱 為函數(shù) 的拉氏卷積，記作： 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) .tf t f t f f t d? ? ?? ? ??2022/1/4 22 ? 例 1． 12( ) ( ) si nf t t f t t??求函數(shù) 和 的卷積，si n .tt?即求解： 0s in s in ( )tt t t d? ? ?? ? ??0 0[ c o s ( ) ] c o s ( )ttt t d? ? ? ?? ? ? ??si n .tt??2．卷積的性質(zhì) 1 2 2 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。f t f t f t f t? ? ?1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] (
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