【正文】 令 tax ta n? tdtadx 2s e c????? dxax 22 1 td tata 2secsec1 ???? tdtsec Ctt ??? )tanl n (s e ctax22 ax ?2222221l n l n ( ) l nl n ( ) .x x aC x x a a Caax x a C?? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ???? 2,2t注 三角代換的目的是化掉根式 . 例 4 解 . )0( )( d 322 ??? axa x計算 ,dcosd ,22 ,s i n 故則令 ttaxttax ???? ??? ??? ttaxa x 22322 c o sd1)( dCta ?? tan12 .222 Cxaa x ???xat22 xa ?例 1 求 解 .dxe x? ?11xet ?令 ,dttdx1?dttt? ?? )( 122 dttt? ?????????1112Ctt ???? )]l n ([ l n 12,ln tx 2??考慮到被積函數(shù)中的根號是困難所在，故 dxe x? ?11回代將 xet ? .ln Ceexx???????????12原式例 2 解 . d 3? ? xx x計算 . 6 , , 31321為分母的最小公倍數(shù)的指數(shù)部分的它們xxxx ?? ,0 , 61 ?? txt令 ,d 6d , 56 故則 ttxtx ???? ??? tt txx x d1 6d 33 ? ? ??? ttt d1 116 3? ????? tttt d) 111 (6 2Ctttt |1|ln6 6 3 2 23 ?????? . )1l n (6632 663 Cxxxx ??????例 3 解 . 1 d 25?? xxx計算 dd 1 1 222 ，故，則令 ttxxtxxt ??????? ??? ttx xx d)1( 1 d 2225? ??? ttt d)1 2( 24Cttt ???? 35 3251 . 1 )1 (32)1 (51 23252 Cxxx ???????例 4 解 . d111 ? ?? xxxx計算 121 )1( d 4d 11 222 ，故，則令 ????????? txt ttxxxt?? ?????? )1)(1( d 4d1121 22 2 tt ttxxx? ?? ????? ttt tt d)1)(1( )1()1( 2 22 22 ?? ????? 1d21d2 22 t tt tCttt ????? arc t an2|1| |1|lnCxxxx xx ??????? ???? 11a rct an2|11| |11|ln例 5 解 ? ??? . 522 d 2 xx x計算?? ??????? 4)1(2 d522 d 22 x xxx x , ds e c2d , t a n21 2 故則令 ttxtx ????? ????? tttxx x s ec1 ds ec522 d 22? ?? ttt cos)cos1( d?? ??? tttt co s1 dco sd ?? ?? tttt d2s ec 21ds ec 212t an |t ans ec|ln Cttt ???? . 1 252 |152|ln22 Cxxxxxx ???????????? ?ttts incos12t an??配方 .1tx ?例 1 求 dxxx n? ? )( 11令 tx 1? ,12 dttdx ???dxxx n? ? )( 11 dttttn ???????????????? ? 2111 ? ????dtttnn11Ctn n ???? ||ln 11 .||ln Cxn n ????111解 例 2 求 解 .dxx xa? ?422令 tx 1? ,12 dttdx ???dtttta????????????????????? ?2422111dttta? ??? 122dxx xa? ?422分母的次冪太高 dxxxax ? ??4220 ,時當)( 112 1 22222 ???? ? tadtaaCata ????2232231 )(.)( Cxaxa ????3223223dxxxax ? ??4220 ,時當 .)( Cxaxa ????3223223例 3 解 . )1( d 24? ?xx x計算 ), 0 ,0 ( ,dd , 1 2 故則令 ????? txt txtx? ? ???? 1d)1( d 2424 t ttxx x? ? ???? ttt d1 1)1( 24 d)111( 22? ????? tttCttt ????? arc t a n33 . 1arct an13 1 3 Cxxx ????? 積分經常有效：“倒代換”法對于下列? ??? )( d 2 cbxaxnmx x ) 1 ( tnmx ??令 的好方法。 例 11 求積分 .? dxex解 td tdxtxxt 22 ??? , 則令.)()(CxeCtedetdttedxextttx???????? ???121222a r c ta n12 xxeI d xe? ?例 求dttdxtxte x 1,ln ???? 則令?? ???? )1(ar c tan1ar c tan ttddttt tI)(ar c tan1ar c tan1 tdttt ????dttttt ? ????)1(1ar c tan12[解 ] dtttttttI ???????)1()1(ar c tan1222dttdtttt ?? ????? 211ar c tan1Ctttt?????? )1l n (21lnar c tan1 2Cexeexxx ??????21lnar c tan1例 1 3 已知 )( xf 的 一 個 原 函 數(shù) 是 2xe ? , 求? ? dxxfx )( . 解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f ,)()( ??? dxxfxxf,)( 2? ??? ? Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????兩邊同時對 求導 , 得 x ,2)( 2xxexf ?????? ? dxxfx )( ?? dxxfxxf )()(222 xex ??? .Ce ?? ?連用分部積分法 ? x d xs i nx 2求解： ?? x d xx s in2???? 22 c osc os x dxxx???? x d xxxx c o s2c o s2???? xxdxx s i n2c os2????? x d xxxxx s i n2s i n2c o s2Cxxxxx ????? c o s2s i n2c o s2同理可求不定積分 ? x d xc o sx 2例 14. )( c o s2 xdx?2215 ( 2 )xxedxx ??例 求[解 ] ?? ???? )21()2(222xdexdxxex xx? ?????? dxexxxxex xx )2(21)21( 22????? dxxex ex xx22cexxex xx ?????? )1(22例 16 解 . s i n dco s 3? x xxx計算 ??x1xx3sincosx2sin21??? ??? xxxxx xxx 223 s i n2 d21s i n2s i n dco s . co t21cs c2 2 Cxxx ????? ?? ?? 333 ds i n )d ( s i ns i n dco s u uxxx xx . s i n2 121 22 CxCu ?????? ?) sin ( xu ?例 17 解 . d1arct an 22? ? xx xx計算 d1 a rct a n)11( d1a rct a n 2222 ?? ????? xx xxxx xx d1arct andarct an 2?? ??? xx xxx )d ( arct anarct an1 darct an 2 ?? ???? xxx xxxx?? x1xarctan211x? . arct an21)1l n (21arct an 22 Cxxxx ?????,422 pqa ?? ,2MpNb ??則 ? ?? ?? dxqpxx NMx n)( 2? ?? dtat Mt n)( 22 ? ?? dtat b n)( 22,222 atqpxx ???? ,bMtNMx ???記 ,1)2( ?n ? ??? dxqpxxNMxn)( 2122 ))(1(2 ????? natnM .)(122? ?? dtatb n,1)1( ?n ? ?? ? dxqpxx NMx2)l n (2 2 qpxxM