【正文】 等價。 若已知 F，必有一個 K與之對應(yīng) 若已知 K，不一定有 F與之對應(yīng) 三種反饋結(jié)構(gòu)比較小結(jié) 57 932 反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響 可控性 可觀性 穩(wěn)定性 響應(yīng)特性 1）對可控、可觀性的影響 定理 1 引入狀態(tài)反饋， B I s C A K + + + _ v u x’ x y 系統(tǒng)的可控性不變， 但可能改變系統(tǒng)的可觀測性。 定理 3 輸出至參考輸入的反饋， v F B I s C A + + u x’ x y 既不改變系統(tǒng)的可控性， 也不改變系統(tǒng)的可觀測性。 59 狀態(tài)反饋和輸出反饋都能影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 狀態(tài)反饋的鎮(zhèn)定問題： 對于 ??????CxyBuAxx?如果存在狀態(tài)反饋矩陣 K，使通過狀態(tài)反饋 u=vKx 構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的 系統(tǒng)矩陣 (ABK) 特征值均具有負實部，稱系統(tǒng)實現(xiàn)了 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 。 2）反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 例如，不可控子系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 cc x1003x?????? ????特征值為 λ1=1， λ2=3， 沒有正實根存在，故能通過狀態(tài)反饋使其鎮(zhèn)定。 證明：設(shè) (A,B)不完全可控，通過結(jié)構(gòu)分解 (非奇異線性變換 ) ? ?21 KKK ?狀態(tài)反饋矩陣為： 引入反饋后，系統(tǒng)矩陣： KBA ?反饋后系統(tǒng)特征方程： 61 極點配置 —— 利用狀態(tài)反饋或輸出反饋使閉環(huán)極點位于所希望的位置。 基本問題： 1）實現(xiàn)極點配置的的條件； 2）極點配置的算法 —— 如何求反饋矩陣。 定理 6 用輸出至狀態(tài)微分的反饋任意配置閉環(huán)極點的充要條件是 受控系統(tǒng)可觀 。 933 SISO系統(tǒng)的極點配置 62 以狀態(tài)反饋矩陣 K的求法為例來介紹算法 基本思路：求反饋矩陣 K，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為希望極點 λ1,λ2 ,…, λn 即求 K，使下式成立： ? ? ? ?? ? ? ? 0bKAsI 21 ??????? nsss ??? ?1 設(shè) 但輸入 系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型，即： ?????????????????????????????????????1000b,100001000010A1210??????????naaaa? ?nkkk ?21K ?則 （ 2） SISO系統(tǒng)的極點配置 算法 63 ??????????????????????????????????????1000100001000010bKA1210??????????naaaa? ?nkkk ?21????????????????????????????? ? nn kkkaaaa ?????????211210001000010?????????????????????nnnkakaka 121101I0? ? ? ? ? ?1011bKAsI kaskas nnnn ???????? ?? ?? ?? ? ? ?nsss ??? ???? ?210111 asasas nnn ???? ?? ?001 aak ?? ? ?1n1n1100 aaaaaaK ?? ???? ?112 aak ?? 1n1nn aak ?? ???64 2 設(shè)系統(tǒng) (A, b) 可控，但不是標(biāo)準(zhǔn)型 處理方法 直接求解 借助于線性變換 下面介紹第二種方法的計算步驟 1）求出原系統(tǒng)特征多項式 0111 asasasAsI nnn ????? ?? ?2）求出希望的特征多項式 ? ?? ? ? ?nsss ??? ??? ?21 0111 asasas nnn ???? ?? ?3）計算 K—— 對應(yīng)能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)反饋陣 ? ?111100K ?? ???? nn aaaaaa ?4）求變換矩陣 P—— P1變換把 (A， b)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型 ?????????????? 1n111ApAppP?其中 P1是 ? ? 11 ?? bAAbb n? 的最后一行 5）求狀態(tài)反饋陣 K PKK ?65 0 0 0 11 6 0 00 1 12 0u? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xx求狀態(tài)反饋向量 K，使閉環(huán)特征值為 1 2 32 , 1 , 1jj? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?解：系統(tǒng)可控性矩陣： 1 0 00 1 60 0 1??????? ? ???????2S b A b A b系統(tǒng)可控，故可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置 方法 1 直接法： 希望的閉環(huán)特征多項式： ? ?? ?? ?321 sss ??? ???例 923 已知 SI線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 3rank n??S4s6s4s 23 ????? ?? ?2s2s2s 2 ????66 ? ?321001AbKA kkk?????????????????????????????????????0000001210061000 321 kkk? ???????????????????1210061bKAI321sskkkss? ? ? ? ? ?32121213 1272721818 kkkskksks ?????????比較系數(shù)得： ?????????????4127267218418321211kkkkkk 解得： ??????????122018614321kkk即 ? ?122022614K ???????????????????1210061321 kk464 23 ???? sss67 方法 2 線性變換法： 被控系統(tǒng)的特征多項式為： 121006100AI??????ssss希望特征多項式： ? ?? ?? ? ? ?? ?222 2321 ??????? ssssss ???于是 ? ? ? ?1466418472604K ???????可控性矩陣 ????????????100610001S????????????100610001S 1 ? ?100p 1 ??????????????????????????1441811210100ApAppP2111 ? ?1 2 2 018614PKK ????? ?? ?126 ??? sss sss 7218 23 ???464 23 ???? sss68 繪制狀態(tài)變量圖 u????????????????????????001x1210061000x?Kx?? vuv 1/s x2 x’2 1/s x1 u=x’1 6 1/s x3 x’3 12 14 186 1220 原系統(tǒng)： 狀態(tài)反饋： ? ???????????????3211 2 2 018614xxxv69 3 已知被控系統(tǒng)的 I/O描述（傳遞函數(shù)或微分方程） 一般方法：先列寫狀態(tài)空間表達式，再求狀態(tài)反饋 （ 能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)較為簡單） 例 924 設(shè)受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ? ?? ? ? ? ? ? 321 0 1 01 3 3 2YsU s s s s s s s??? ? ? ?試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置在 2， 1+j， 1j 解：系統(tǒng)為 SISO系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)無零極點對消 故該系統(tǒng)可控可觀，可實現(xiàn)任意配置極點。 ??????xcybxAx u? 為可控標(biāo)準(zhǔn)型 xPx 1??線性變換前后系統(tǒng)傳遞函數(shù)不變，故受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ? ???????????????????????????????????????1000100001000111210110 ???????????nnasaaass???（ 3）狀態(tài)反饋對傳遞函數(shù)零點的影響 ? ? ? ? ? ? bAIcbAIcG 11 ?? ???? sss73 ? ????????????????????????????????????????100111100111 ?????????nnnnnssasasas??01110111asasasssnnnnn?????????????? ???引入狀態(tài)反饋 Kx?? vu閉環(huán)系統(tǒng) ???????Cxybb k )x(Ax v?相應(yīng)傳遞函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?? ? bbKAICbbKAICG 11 ?? ?????? sssk74 ? ?? ???????????????????????????????????????1000asaaa100001s0001s1*1n*2*1*01n10 ??????????? ???? ????????????????????????????????????????100ss1asasas11n1n0*0*11n*1nn ???????????*0*11n*1nn011n1nasasasss?????????????? ???比較反饋前后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 狀態(tài)反饋只改變系統(tǒng)極點，不改變系統(tǒng)零點； 當(dāng)希望極點與原系統(tǒng)的某些零點相同時， Gk(s)有零極點對消， 可觀測性不能保證。 目的 —— 用觀測器重構(gòu)的狀態(tài)代替被控系統(tǒng)的狀態(tài)，實現(xiàn)狀態(tài)反饋。 —— 狀態(tài)觀測器 76 B I s C A + + u x’ x y 模擬系統(tǒng) K _ v 固有系統(tǒng) 狀態(tài)反饋 B I s C A + + x?? x? y?由狀態(tài)方程的解： )0()()0()()(0)( ??? ? ? tdett t t ??? BuxΦx A)0()()0(?)()(? 0 )( ??? ? ? tdett t t ??? BuxΦx A)()(?)0()0(? tt xxxx ??? )()(?)0()0(? tt xxxx ???比較：輸入引起的部分相同，但由初態(tài)引起的部分與 x(0)有關(guān)，故有： 2） 系統(tǒng) (A， B， C)在實際模擬中一定存在誤差 。 78 全維觀測器的方程 xcyyyHBuxAx ?