【正文】 P(n）成立； （ 2）假設(shè) P(k）（ 0nk ? ）成立， 能推出 Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 綜合（ 1）（ 2），對一切自然數(shù) n（ 0nk? ） ， P(n）， Q(n）都成立。 例 5 已知矩陣100100A??????????，試求kA（ 為自然數(shù)）． 解 可求得2222210200??????,323 3 23330300A? ? ?????, 觀察這些矩陣的規(guī)律 可以發(fā)現(xiàn) , 2A的第 1行元素是2( 1)??展開式的三項元素 ,而3A的第 1行元素是3( 1)??展開式的前三項，由此推測，kA的第 1行元素應(yīng)該 是( 1)k??的展開式的前三項元素，k，k??，2( 1)2 kkk ? ??。 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 例 6 設(shè)???????????100010101A，求nA。 例 7 設(shè)2n,10102101???????????? 而A為整數(shù)，求12 ?? nn AA。 利用遞推公式方法求方陣的冪 設(shè) n階方陣 A的特征矩陣? ?AI??的伴隨矩陣為? ???AI?，它的逆矩陣就為 ? ? ? ?AI AIAI ???? ?? ??? 1，因為? ?I的每個元素的代數(shù)余子式都是次數(shù)不超過 n1 次的 ?多項式，所以設(shè) ? ? 012211 BBBBAI nnnn ?????? ????? ???? ? 該式中0,121 , BBBB nn ???為待定的 n 階常數(shù)矩陣。 所以可得到 ? ?? ? IAIAIAI ???? ? ???， 最后整理得： ? ? ? ? 0101121 ABABBABBB nnnnn ????? ???? ??? ? ? ?Iaaaannnnn 012211 ????? ???? ???? ? 得到????????????????????IaABIaABBIaABBIaABBIBnnnn001102211122?。 解 設(shè)nnnnnabA cd???????，則 110121n n n nn n n na b a bc d c d??? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?， 則 1 1 1 1 1 1, 2 , , 2n n n n n n n n n na c c c a b d d d b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?1 1 22n n n nc c c c? ?? ? ? ??? =? ?2 2122cc? ??， ? ? ? ??? ???? ???????? ni nniinnnn cc 1 111 3 212212 ?， 同理 ? ?1213 nnnd ? ???， 即 ? ? ? ?? ? ? ? ????????????? ????? ????mmmmmmmmmA12212 1221231 1111。 利用二項式法求方陣的高次冪 定理 2：若 n階矩陣 A可分解為 A F G??,且矩陣 F與 G的高次冪容易計算，并且 FG?（即 F與 G可交換，否則二項展開公式不成立），則有 1 1 2 2 2 1()k k k k k k k kk k kF G F C F G C F G C FG G? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 例 9 矩陣100100A??????????，將矩陣 A分解為 0 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0A E H????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，其中0 1 00 0 1000H ???， 則可以驗證矩陣 H滿足20 0 1000H ?，且34 0HH? ? ?， ( ) ( )E H H H E? ? ???,即 E與 H可交換。 若 A是主對角線元素不同的某些特殊 n階矩陣時（如三角陣等），則先考慮將 A分解為 BaE??，其中 B為冪零陣（即對 2?有 0nB?），或者 B為秩? ? 1?Br的矩陣，且1nnB K B??，其中常數(shù) K等于列向量與行向量內(nèi)積的值。 秩為 1 的方陣的高次冪的求解 定義 2：由于矩陣的秩為 1,所以矩陣 A至少有一行元素不為零 ,且其余各行元素都屬于它的，于是秩為 1的 nn?矩陣的一般形式為 : ?????????????nnnnnnbababababababababaA???????212221212111 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 15 設(shè)? ? ? ? ? ? ,2,1, 2121 TniTn bbbniaaaa ??? ??? ?? 為非零實數(shù) ? ?,2,1 nib i ??為非零實數(shù) 則???? TnnT bababatrAaA ??????? ?2211, 記 有? ?? ? ? ? ? ???????? TTTTkA ?? ?? ? ? ? TkTTT a ??????? 1???? =Tka ??1?= Aak，即trAaAa kk ?? ? 其中,1 例 10 設(shè)? ? ? ?.,31,21,1,3,2,1 為正整數(shù)求 kAA kTTT ??? ????????? 解 由于??????????????????1233321231211TA ?? ? ? ????? ?? TtrAaAr 記 AA kk 13 ???????????????????????????12112113233323323233kkkkkkkkk 例 11 已知2 4 0 01 2 0 00 0 2 00 0 4 2A????? ????，求nA（ 為自然數(shù)）． 解 矩陣 A可分塊為00B C?????,其中2 4 2 0,1 2 4 2BC? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 于是00nnnBA C?，下面求nB與nC， 由于? ?2 4 2 1 , 21 2 1 TB ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，其中21,12??? ? ?? ? ?? ? ?， 于是11114 2 4( ) 4 4 4 2nnn T n nnnBB?????????? ? ? ?? ??? 又有20 242C E G? ? ???,其中0040G，且2 0 , ( 2 ) ( 2 )G E G G E， 由二項式展開公式得： 1 1 1 120( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 4 2 2nn n n n n nn nnC E G E C E G E n G n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 故11114 2 4 0 00 4 4 2 0 00 0 0 2 00 0 4 2 2nnn n nnnnnnBACn??????????? ?????????? 故得到以下結(jié)論： 結(jié)論一： 命題 1 形如 mmbbbbbb???????????????000???????，令 mmbbbbbbbbb??????????????????????，所以 bEBA ??， 1mbbBbb ?????????????????? ??11 1 1 m?， ? 1nnB mb B?? 則? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 1n n n nn bA m B m bEm ? ??? ? ? ? ? ???。 利用 HamiltoorCaylry 定理求方陣的冪 定理 3： HamiltoorCaylry 設(shè) n 階矩陣 A 是其特征多項式的根（零點），即令111() nn nnf x x E A x a x a x a? ?? ? ? ? ? ? ? 則111( ) 0nn nnf A A a A a A a E? ?? ? ? ? ?． 哈爾濱學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 17 例 12 已知方陣.,100221212100AA 求?????????????? 解 方陣 A的特征多項式為? ? ? ? ? ? ? ?31det 2 ??????? ???? Af 設(shè)? ? ? ? 0122100 bbbfq ???? ????? 則? ? ? ? ? ? ,01031 39?？芍蠓疥嚨膬绶椒ǘ喾N多樣，針對不同的矩陣可采用對應(yīng)的方法來求解，在具體的使用過程中要充分的利用方陣的具體特征尋求最佳的計算方法，這樣既能提 高運算速率，也能使我們在計算能力方面得到提高。第二部分總結(jié)了一些矩陣高次冪的計算方法，如：利用矩陣對角化、利用若而當標準型、利用數(shù)學(xué)歸納法、利用遞推公式法、利用二項式法等方法進行了探討。 在具體求解一個方陣的高次冪時，根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計算方法是求方陣高次冪的關(guān)鍵?？傊?，在方陣高次冪的求解過程中要充分運用矩陣的特征尋求nA的最佳計算方法，這對于溝通矩陣各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡單的計算方法的能力需要在實踐中逐步提高，總而言之，方陣的高次冪的計算作為線性代數(shù)課程教學(xué)實踐中的疑難點，需要我們在總結(jié)已有的基礎(chǔ)上，不斷地發(fā)散思維靈活運用各種方法，才能既快速又準確的計算方陣的高次冪。 經(jīng)過近幾個月的忙碌，本次畢業(yè)設(shè)計已經(jīng)接近尾聲，作為一個本科生的畢業(yè)設(shè)計，由于經(jīng)驗的匱乏，難免有許多考慮不周全 的地方，如果沒有導(dǎo)師陳老師的督促指導(dǎo)，以及同學(xué)們的支持，想要完成這個設(shè)計是難以想象的。老師淵博的專業(yè)知識和嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，誨人不倦的高尚師德對我影響深遠。本論文從選題到完成，傾注了導(dǎo)師大量的心血。一直給予我巨 大的支持與幫助。s Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu39。80s. We sat on the back of pickup trucks for hours. The sky was blue, and we couldn39。t have a formal stage. The audience just sat on the grass. Usually, the performances became a big party with local people joining in. For him, the rewarding part about touring isn39。s performers of the troupe still tour the region39。s Poly Theater. Their show, titled Ulan Muqir on the Grassland, depicted the history and development of the art troupe. Being from the region allowed me to embrace the culture of Inner Mongolia and being a member of the troupe showed me where I belonged, Nasun, the art troupe39。s Liaoning province, decades ago. The solider gave the old man a handmade saddle when they bid farewell. T