【正文】 點來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 (6)伯德圖是與奈氏圖對應(yīng)的另一種頻域圖示方法，繪制伯德圖 比繪制奈氏圖要簡便得多。 (7)諧振頻率 r? ，諧振峰值 rM 和帶寬 0 一 b? 是重要的閉環(huán)頻域性能指標(biāo)，根據(jù)它們與時域性能指標(biāo)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以估計系統(tǒng)的重要時域性能指標(biāo) pt ， %p? 和 st 等。顯然， )j G ?( 是以頻率ω為自變量的一個復(fù)變量，該復(fù)變量可用復(fù)平面 [s]上的一個矢量來表示。那么當(dāng)頻率ω從 0 變化到∞時，系統(tǒng)或元件的頻率特性的值也在不斷變化，即 )j G ?( 這個矢量亦在 [s]平面上變化，于是 )j G ?(這個矢量的矢端在 [s]平面上描繪出的曲線就稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性，或稱作奈奎斯特圖 (Nyquist)。因此，在工程上，常常將 )(?M 和)(?? 分別表示在兩個圖上，且由于這兩個圖在刻度上的特點，被稱作對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖。 2．對數(shù)相頻特 性 該圖縱軸按均勻刻度，標(biāo)以 )(?? 值，單位為度；橫軸刻度與對數(shù)幅頻特性相同，按對數(shù)刻度，標(biāo)以頻率ω值，稱作對數(shù)相頻特性。本章只介紹奈奎斯特圖和伯德圖。當(dāng)頻率ω為某一定值ω l時，頻率特性 G(jω l)可以用極坐標(biāo)的形式表示為相角為 )( 1?jG? (相角 )G(j ?? 的符號定義為從正實軸開始，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù) )，幅值為 )( 1?jG 的矢量 OA ，如圖 5— 1(a)所示。如圖 5— 1(a)中 G(jω )曲線所示。 如果 G(jω l)以直角坐標(biāo)形式表示，即 )jI ()R()j G 111( ??? ?? 如圖 5— 1(b)所示的矢量 OA 。如果將兩個坐標(biāo)圖重疊起來，則在兩個坐標(biāo)圖上分別作出的同一 G(jω )曲線也將重合。 圖 5— 1 頻率特性 G(jω )的圖示法 （ a） G(jω )的極坐標(biāo)圖示法；（ b） G(jω )的直角坐標(biāo)圖示法 二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖 由第二 章已知，一個控制系統(tǒng)可由若干個典型環(huán)節(jié)所組成。 1．比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)＝ K 所以比例環(huán)節(jié)的頻率特性為 G(jω )＝ K 十 j0＝ 0jKe (5— 13) 其頻率特性極坐標(biāo)圖如圖 52 所示。相位移φ (ω )＝ 00。 21 圖 5— 2 比例環(huán)節(jié)頻率特 性極坐標(biāo)圖 2．積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)＝ s1 所以積分環(huán)節(jié)的頻率特性為 21101)( ????? jejjjG ????? (5— 14) 其頻率特性極坐標(biāo)圖如圖 5— 3 所示，它是整個負(fù)虛軸，且當(dāng)ω→∞時，趨向原點 0，顯然積分環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié) [因為φ (ω )＝ 900]，每當(dāng)信號通過一個積分環(huán)節(jié)，相位將滯后 900。是整個正虛軸，恰好與積分環(huán)節(jié)的 22 特性相反。微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié) [φ(ω )＝ +900]。 圖 54 微分環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 4．一階慣性環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 11)( ?? TssG 所以一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為 2222 11 11 1)( ????? TTjTjTjG ?????? （ 5— 16） 幅頻特性和相頻特性為 ?????TtgTM122)(11)(????? 由式 (5— 16)直接可得實頻特性和虛頻特性為 22221)(11)(?????TTITR????? 并滿足下面的圓的方程 22221)(21)( ?????????????? ? ?? IR 23 圓心為 ?????? 0,21，半徑為21。 一階慣性環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，其最大滯后相角為 900。 圖 5— 5 慣性環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 5．二階振蕩環(huán)節(jié) 二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 121)( 22 ??? Ts sTsG ? (o＜ξ＜ 1) 二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為 222222222222)2()1(2)2()1(11)(2)(1)(?????????????T TT jT TTjTjTjG?????????? (5— 17) 相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為 24 22122212)(2()1(1)(?????????TT tg)T TM2??????? （ 5— 18） 據(jù)上述表達(dá)式可以繪得二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖如圖56 所示。當(dāng)ω→∞時， M(ω )→ 0，φ (ω ) →1800。 圖 5— 6 二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 圖 5— 6 的曲線族表明，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性和阻尼比ξ有關(guān)，ξ大時，幅值 M(ω )變化??；ξ小時， M(ω )變化大。 當(dāng)ξ＞ 1 時，幅相頻率特性將近似為一個半圓。所以當(dāng)ξ值足夠大時，數(shù)值大的特征根對動態(tài)響應(yīng)的影響很小，因此 25 這時的二階振蕩環(huán)節(jié)可以近似為一階慣性環(huán)節(jié)。也即ω從 0→∞變化時，幅值 M(ω )總是等于 l，相角φ (ω )與ω成比例變化，當(dāng)ω→∞時，φ (ω ) → ∞。工程上常用的是式 ()的開方形式，即： （ ） 26 C0(q)稱為幅值倒頻譜，有時簡稱 倒頻譜 。 為了反映出相位信息，分離后能恢復(fù)原信號，又提出一種復(fù)倒頻譜的運(yùn)算方法。 倒頻譜與相關(guān)函數(shù)不同的只差對數(shù)加權(quán)，目的是使 再變換以后的信號能量集中，擴(kuò)大動態(tài)分析的頻譜范圍和提高再變換的精度。 （ 2).倒頻譜的應(yīng)用 分離信息通道對信號的影響 27 圖 對數(shù)功率譜關(guān)系圖。如在噪聲測量時，所測得之信號，不僅有源信號而且又有不同方向反射回來的回聲信號的混入，要提取源信號，也必須刪除回聲的干擾信號。 對于 ()式進(jìn)一步作傅里葉變換，即可得幅值倒頻譜： （ ） 即： 28 （ ） 以上推導(dǎo)可知，信號在時域可以利用 x(t)與 h(t)的卷積求輸出；在頻域則變成X(f)與 H(f)的乘積關(guān)系；而在倒頻域則變成 Cx(q)和 Ch(q)相加的關(guān)系，使系統(tǒng)特 特性 Ch(q)與信號特性 Cx(q)明顯區(qū)別開來，這對清除傳遞通道的影響很有用處，而用功率譜處理就很難實現(xiàn)。從圖上清楚地表明有兩個組成部分：一部分是高倒頻率 q2，反映源信號特征；另一部分是低倒頻率 q1，反映系統(tǒng)的特性。 用倒頻譜診斷齒輪故障 對于高速大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械，其旋轉(zhuǎn)狀況是復(fù)雜的，尤其當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)不對中，軸承或齒輪的缺陷、油膜渦動、磨擦、陷流及質(zhì)量不對稱等現(xiàn)象時，則振動更為 復(fù)雜，用一般頻譜分析方法已經(jīng)難于辯識 (識別反映缺陷的頻率分量 )，而用倒頻譜，則會增強(qiáng)識別能力。如果齒輪產(chǎn)生缺陷，則其振動或噪聲信號還將大量增加諧波分量及所謂的邊帶頻率成分。例 如調(diào)幅波起源于齒輪嚙合頻率 (齒數(shù)軸轉(zhuǎn)數(shù) )w0 的正弦載波，其幅值由于齒輪之偏心影響成為隨時間而變化的某一函數(shù) Sm(t) ，于是 : () 假設(shè)齒輪軸轉(zhuǎn)動頻率為 wm ，則可寫成 : （ ） 29 其圖形如圖 ()所示，看起來象一周期函數(shù)，但實際上它并非是一個周期函數(shù)，除非 w0 與 wm 成整倍數(shù)關(guān)系，這在實際應(yīng)用中，這種情況并不多見。這里 (w0 wm )與 (w0 +wm )之差頻與和頻通稱為邊帶頻率。其幅值 (嚙合力的大小 ) 則由每轉(zhuǎn)四次的周期為 200HZ 所調(diào)制 (因為有四個輪幅的影響 )。 實際上，如果齒輪缺陷嚴(yán)重或多種故障存在，以致許多機(jī)械中經(jīng)常出現(xiàn)的不對準(zhǔn)、松動、及非線性剛度等原因，或者出現(xiàn)拍波截斷等原因時，則邊帶頻率將大量增加。圖 (a)是一個減速箱的頻譜圖，圖 (b)是它的倒頻譜圖。 30 時頻分析法 傳統(tǒng)的時頻分析方法 1 短時傅立葉變換 這是一種最基本的時頻分析方法。此外，其時間分辨率和頻率分辨率不可能同時達(dá)到最佳，這就是關(guān)于時頻關(guān)系的不確定性原理。它克服了短時傅立葉分析的上述缺點，它的分辨率很高，但分析多分量信號時，存在嚴(yán)重的交叉干擾項，目前雖有許多消除交又干擾項的方法提出，但大都是以降低分辨率為代價的?？筛鶕?jù)不同情況， 選擇不同的時頻分辨率。 雖然小波分析用途很多，但最常用的 Morlet 小波由于其基本小波函數(shù)的有限長度，導(dǎo)致了能量的泄漏，這使得定量的時頻分析變得 31 困難。若一個局部事件發(fā)生在低頻段，仍需被迫到高頻段才能找出它的痕跡，這種方法有時會造成混淆。一旦基本小波被選定就必須用它來分析所有待分析數(shù)據(jù)。另外，它可以分析出頻率緩慢變化的波間頻率調(diào)制，但不能分析出波內(nèi)頻率調(diào)制，這是因為基本小波是由幾個波長組成的。用它分析數(shù)據(jù)共需兩個基本步驟：首先，用一種信號分解方法把信號分解成一些基本模式分量。 1 瞬時頻率與希爾伯特變換 對任何處理非平穩(wěn)信號的時 頻分析方法，頻率必須是時間的函數(shù) 。對任意時間序列 X(t)，可得到它的希爾伯特變換 Y(t)為 : ? ? ? ?1 XY t dt ? ???????? ?? ? ? ? ?1 YX t dt? ???????? ?? （ 1） 這一變換對所有 pL 類存在。由于在任何時刻只有一個頻率值，所以此時刻只有一個分量。 2 基于經(jīng)驗的模式分解 (EMD)及希爾伯特時頻譜 由于大多數(shù)信號不是基本模式分量，任何時刻，信號中可能包含不只一個振蕩模式。 Huang(1996)提出了把信號分解為基本模式分量的算法 —— 基于經(jīng)驗的模式分解 (EMD)算法，也被稱為篩選過程，思路如下 : 找到信號中的所有局部極值點，其中所有的局部最大值被一個三次樣條連接成為上包絡(luò)，同理，局部最小值產(chǎn)生下包絡(luò)，上下包絡(luò)應(yīng)將所有的數(shù)據(jù)都包含在它們之間。然而，實際上對于非線性數(shù)據(jù)，包絡(luò)均值可能不同于真實的局部均值，結(jié)果，一些非對稱波仍可能存在。為了達(dá)到這個效果，該過程可以被重 復(fù)多次。 然而，過多地重復(fù)該處理過程會導(dǎo)致基本模式分量變成純粹的頻率調(diào)制信號，而其幅度變成為恒定的。該準(zhǔn)則可 以通過限制兩個連續(xù)的處理結(jié)果之間的標(biāo)準(zhǔn)差的大小來實現(xiàn)。得到 : ? ? 12X t c r?? ( 10 ) 由于剩余部分 1r 仍然包含較長周期分量的信息，所以 1r 仍被當(dāng)作新的數(shù)據(jù)按以上相同的處理過程來處理。即使原信號數(shù)據(jù)具有全局零均值，其最后的剩余分量仍可能不是零 ； 對于有趨勢的數(shù)據(jù)，其剩余分量就應(yīng)該是該趨勢。 最后，對每一個分量進(jìn)行希爾伯特變換，再根據(jù)等式 (5)計算出瞬時頻率。可變的幅度與瞬時頻率不但很大地改進(jìn)了信號分解或展開的效率，且使這種分解方法可以處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。 實際上，該方法得到了一個用于信號分解的自適應(yīng)的廣義基，從信號分配基函數(shù)理論角度來說，上述分解方法是在基函數(shù)理論上的一種創(chuàng)新。該基函數(shù)不同于傅立葉分解中的基函數(shù)，傅立葉分解的基是一系列恒定幅度與恒定頻率的正余弦函數(shù) ； 也不同于小波分解中的基函數(shù)，小波分解的基函數(shù)是預(yù)先確定的，由于分解的效果取決于基函數(shù)的選擇，所以不能保證最優(yōu)的分解效果。 在這種時頻分析方法中，主要概念性的創(chuàng)新就是基于信號局部特征的分解方法的引人，它的引人使得瞬時頻率這一概念具有了實際的 物理意義，同時也使這一方法不同于用很多諧波分量來代表復(fù)雜的非線性與非平穩(wěn)信號的傳統(tǒng)方法，如傅立葉變換，也不同于小波變換中尺度的頻率定義方法，而是與頻率的經(jīng)典定義法〔信號相位的導(dǎo) )相一致。 3 該方法研究的有關(guān)問題 基于經(jīng)驗的模式分解 (EMD) 算法雖然很有效，但由于是一種新的信號分析方法，正在迅速發(fā)展之中，因此還有許多工作需要去做，至少對下述問題的研究是有意義的 在這種新的時頻分析方法中。首先，在計算局部最大值與局部最小值定義的包絡(luò)的均值時，用到了兩次三次樣條插值。其次，樣條插值在信號的兩個端點處會出現(xiàn)大的擺動，因為信號的兩個端點可能不是局部極值點。 Yu 提出了一種改進(jìn)方法 —— 基于信號時域局部特征的自適應(yīng)時變?yōu)V波分解算法 (ATVFD)，取得了一定的效果，但基于基本模式 分量的信號分解算法的進(jìn)一步研究是非常必要的。在邊界譜中某一頻率僅代表有這樣頻率的信號存在的可能性。有關(guān)邊界譜特性用于實際復(fù)雜信號與數(shù)據(jù)的物理解釋還需進(jìn)一步的研究。 我們只能是定性地描述它的平穩(wěn)性。為了進(jìn)行定量分析，需要一個指數(shù)來表明信號的平穩(wěn)性偏差到底有多大。信號平穩(wěn)性度量的定義及應(yīng)用的進(jìn)一步研究將是很有意義的。 復(fù)雜信號經(jīng)過分解后，可得到多個基本模式分量，從每個基本模式分量上也能看出一些有用信息有關(guān)復(fù)雜信號分解得到的基本模式分量所代表的實際信號的物理解釋 ,還需進(jìn)一步