畢業(yè)論文_極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展-閱讀頁
2025-06-24 06:17本頁面
【正文】 ，正好我們前面所說“窮竭法”與“無限”極限過程毫不相干，它從屬于初等數(shù)學范疇，在中外古代數(shù)學史上，首先舉起“極限論”大旗的是中國的劉徽，劉徽的“割圓術(shù)”清晰地提出了極限思想并刻畫了極限過程，同時給出了極限的計算方法。這好比高聳入云的大廈建立在沙灘上一樣，數(shù)學當中常有這種“怪”東西，它極其直觀，但在邏輯上卻總也說不清楚。關(guān)于“什么是極限”從微積分創(chuàng)建初期一直到 19 世紀中葉數(shù)學家們整整思冥想了 200 年，最終才由維爾斯特拉斯提出“ε－ N”說法的極限定義。然而問題雙從另一方面冒了出來，改造后的微積分雖然邏輯上嚴格，但它缺乏直觀，失去朝氣，可是早它 1600 多年的劉徽在其“割圓術(shù)”中所表述的極限思想，既有邏輯的嚴密性，雙有幾何直 11 觀性與實際應(yīng)用的可操作性，倘若對中國數(shù)學頗有研究的萊布尼茨如能悟出劉徽割圓術(shù)中的深邃的極限思想，我想歷史上也就不會有微積分的“優(yōu)先權(quán)之爭”。 如 :構(gòu)造出? ?x,0上的平均速度 , 在0xx的條件下 ,平均速度無限趨近最終所求瞬時速度。 分析 :該物體作豎直上拋運動 ,即是作變速直線運動 ,要求解 3 秒末的瞬時速度 A,即自變量 t無限趨近0?t秒時的速度。 比值有關(guān)（tsv?） ,可利用極限的理論 ,構(gòu)造出一個在自變量無限趨近30?t秒 12 的條件下 ,相應(yīng)的平均速度項na(或)(xf)也無限趨近于瞬時速度 ,從而求出結(jié)果 A。 ? 以30?為起點 ,vttt ?? 0為終點 ,考察在整個小區(qū)間? ?vtt ?0, 上 , 運動物 體 的平 均速 度 v的 變 化情 況 : 該區(qū) 間 上運 動物 體的 位移 vs為 : ? ? ? ? ?????? ?????? ???????? ????????? ?? 202100 2130213000 gttttgttsss ttt ?在 0??t的條件下 ,對平均速度tsvt ???取極限 ,即可得出在30?t秒 的瞬時速 A。 （ 2）利用極限思想處理無窮等比數(shù)列； 例 2： 已知數(shù)列 ??nc ， 其中 23nnnc ??， 且數(shù)列 ? ?1nnc pc? ? 為等比數(shù)列 ，求常數(shù) p ； 解：（ 1） 設(shè) ? ?1nnc pc? ? 的公比為 q ，則有： 13 ? ?? ?2 2 1 1211112 3 2 32 3 2 3n n n nnn n n n nnnpc pcqc pc p? ? ? ??? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 2 32 2 3 3nnpp??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22 2 3 332 233nnpppp?? ? ? ???????? ? ? ????? 對上式兩端取極限，當 3p? 時， lim2 2nq ????； 當 3p? 時， ? ?? ?0 3 3lim 303n pq p?? ??????， 此時， ? ?2 1 13n n n nc pc c pc? ? ?? ? ?，即 ? ? ? ? ? ?2 2 1 1 1 12 3 2 3 3 2 3 3 2 3n n n n n n n npp? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 整理得 2 1 12 2 3 2 2n n n np? ? ?? ? ? ?，即 4 2 6 3pp? ? ? ，得 2p? 故常數(shù) 2p? 或3。設(shè)倒完第 ? ?1nn? 次時前后一共倒出純酒精 xL ，倒完第 ? ?1n? 次時前后一共倒出純酒精 ? ?f xL ，求函數(shù) ??fx的表達式。 解：根據(jù)題意，第 ? ?1n? 次倒出的混合液中純酒精的體積分數(shù)為 axa? , a 1( ) * 1 = 1aaxf x x xa?? ? ? ? 下面確定定義域 ,由于第一次就倒出 1L 純酒精，故 1x? ；又經(jīng)過有限次 14 (無論 n有多大 )操作，總不可能將全部的 aL 純酒精倒出，只能無限趨近于 a ，即 xa? ， 故定義域為 ?1,a?? 。 例 5： 求離心率 25e?，過點 ? ?1,0 且與直線 : 2 3 0L x y? ? ?相切于點25,33???????， 長軸平行于 y 軸的橢圓方程。 解：設(shè)橢圓中心為 ? ?00,xy ，由離心率 25e?，可得 2215ba? 又由長軸平行于 y 軸，可設(shè)橢圓方程為 ? ? ? ?2200225 1y y x xaa???? 聯(lián)立方程 ? ? ? ?2200225 1y y x xaa? ??? ?????2xy+3=0只有唯一解，且此解為 25,33? ?? ?? ?? 15 又橢圓過點 ??1,0 代入 可求得橢圓方程為 22 15yx ?? 探索思考：計算過程中，明顯發(fā)現(xiàn)這種解法運算過程繁瑣。 解：把點 25,33? ?? ?? ?? 看作離心率 25e?的橢圓系 222 1 5( ) ( ) 03 5 3xy? ? ? ?的極限狀態(tài)（“點橢圓”），則與直線 : 2 3 0L x y? ? ?相切于該點的橢圓系即為過直線 L 與“點橢圓”的公共點 的橢圓系，其方程為 222 1 5( ) ( ) ( 2 3 ) 03 5 3x y x y?? ? ? ? ? ? ? 又由于所求的橢圓過點 ??1,0 ，代入上式，得 23??? 。極限思想的演變歷程 ,是 數(shù)千年來人類認識世界和改造世界的整個過程的一個側(cè)面反應(yīng) ,是人類追求真理、追求理想 , 增加了新的動力 ,成為了近代數(shù)學思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點。實際應(yīng)用中 ,可以對實際問題進行認真分析后 ,確定所研究的問題所適合的極限類型 ,再根據(jù)對應(yīng)的極限類型所滿足的條件 ,采用“常量代替變量”，“以勻代替非勻”，“以固定代替非固定”，“直代曲”的思路去構(gòu)造出相應(yīng)的通項na或函數(shù)項)(xf,再利用微積分的相關(guān)公式 ,最后求出極限 ,最終解決了實際問題。在實際工作中 ,如果我們能經(jīng)常利用數(shù)學的極限思想去思考問題 ,往往能突破我們思維上的禁錮 ,拓寬考慮問題的思路 ,可以在順利解決實際問題上提供非常大的幫助。 同時要感謝四年來教導(dǎo)過我的各科老師，學院的各位領(lǐng)導(dǎo)，還有在我寫論文過程中，幫我一起搜集資料的朋友們。 任何一篇優(yōu)秀的論文都離不開老師和朋友的參與、支持和幫助。
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