【正文】 ） 把這個(gè)等式代入式 ()中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ ） 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以 11 得到下面方程： )c os(22 ?ldtdmmgP ?? （ ） ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? （ ） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in （ ） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s i ns i n,c o sc o s, ??????? ?????? 故等式前面有負(fù)號(hào)。 用來代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： ? ?? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ????? ????2 （ ） 對(duì)式（ ）進(jìn)行拉 普拉斯變換，得到 ? ?? ???????????????????)()()()()()()(22222sUssmlssbssmMssmlsm glssmlI （ ） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： )( )( 22??? s ssX s （ ） 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： )( )( 23 ????? sss ssU s （ ） 小車位移和小車所受力的傳遞函數(shù) ： )( )( 232??? ?? sss ssU sX （ ） 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxx????????????????????????????????????????????????????????001000 8 8 3 1 6 0010???????????? uxxxy???????????????????????????????????0001000001????? （ ） 15 第 3 章 PID 控制器 簡介 常規(guī) PID 控制器 簡介 常規(guī) PID 控制器概述 PID 控制器問世至今已有近 70 年歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。即當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象， 或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用 PID 控制技術(shù)。 ⑴ P(比例 )控制器 比例控制器，又稱 P控制器，其傳遞函數(shù)為： pc KsG ?)( () 顯然，調(diào)整 P 控制器的比例系數(shù) pK ，將 改變系統(tǒng)的開 環(huán) 增益，從而對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生影響。其結(jié)果是使得系統(tǒng)的相位裕量減小，穩(wěn)定性變差，但快速性將得到改善。 如果 pK 1，則對(duì)系統(tǒng)性能有著相反的影響。 調(diào)整 P 控制器的比例系數(shù)，進(jìn)而改變系統(tǒng)的開環(huán)增益 ，可在某種程度上，對(duì)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、快速性和穩(wěn)態(tài)精度等性能作出一種折中的選擇，但在一些情況下，光靠調(diào)整 P 控制器的比例系數(shù)，是無法賜教滿足系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)要求的。 ⑵ PD(比例－微分 )控制器 比例－微分控制器，簡稱 PD 控制器。它具有前述超前校正 裝置的特點(diǎn)。微分作用的強(qiáng)弱取決于微分時(shí)間常數(shù) DT ， DT 越大，微分作用越強(qiáng)。 ⑶ PI(比例－積分 )控制 器 比例－積分控制器，簡稱 PI 控制器，在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用。但是， 由于 )(sGc 中積分 環(huán)節(jié)的引入，相當(dāng)于增加了一個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，使得它與上述滯后校正裝置有所不同。 由于積分環(huán)節(jié)的引入，使得當(dāng)系統(tǒng)偏差為零時(shí)， PI 控制器能維持一恒定的輸出作為系統(tǒng)的控制作用，這就使得系統(tǒng)有可能運(yùn)行于無靜差的狀態(tài)。 PID 控制器就是根據(jù)系統(tǒng)的誤差，利用比例、積分、微分計(jì)算出控制量進(jìn)行控制的。 如 圖 所示 。其控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)成比例關(guān)系。 ⑵積分控制 （ I） 在積分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)的積分成正 比關(guān)系。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”。這樣，即便誤差很小，積分項(xiàng)也會(huì)隨著時(shí)間的增加而加大，它推動(dòng)控制器的輸出增大使穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)一步減小，直到等于零。 ⑶微分控制（ D） 在微分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)的微分（即誤差的變化率）成正比關(guān)系。其原因是由于存在有較大慣性組件（環(huán)節(jié)）或有滯后 (delay)組件，具有抑制誤差的作用，其變化總是落后于誤差的變化。這就是說，在控制器中僅引入“比例”項(xiàng)往往是不夠的，比例項(xiàng)的作用僅是放大誤差的幅值，而目前需要增加的是“微分項(xiàng)”，它能預(yù)測誤差變化的趨勢(shì)，這樣，具有比例 +微分的控制器，就能夠提前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負(fù)值，從而避免了被控量的嚴(yán)重超調(diào)。 其輸入 e(t)與輸出 u(t)的關(guān)系為 : ???????? ??? ?tdip dt tdeTdtteTtektu 0 )()(1)()( （ ） 因此它的傳遞函數(shù)為： de nP IDnu m P IDs kskskskksksKD ipdipd ???????2)( （ ） 它由于用途廣泛、使用靈活，已有系列化產(chǎn)品，使用中只需設(shè)定三個(gè)參數(shù)（ Kp， 18 Ki和 Kd）即可。 PID 控制器廣泛應(yīng)用的原因有： 首先， PID 應(yīng)用范圍廣。 其次， PID 參數(shù)較易整定。如果過程的動(dòng)態(tài)特性變化，例如可能由負(fù)載的變化引起系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化， PID 參數(shù)就可以重新整定。最重要的是，如果 PID 控制器不能控制復(fù)雜過程，無論怎么調(diào)參數(shù)都沒用。 常規(guī) PID 控制器的整定方法 PID 控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。 PID 控制器參數(shù)整定的方法很多，概括起來有兩大類：一是理論計(jì)算整定法。這種方法所得到的計(jì)算數(shù)據(jù)未必可以直接用，還必須通過工程實(shí)際進(jìn)行調(diào)整和修改。 PID 控制器參數(shù)的工程整定方法，主要有經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)法、試湊法和擴(kuò)充臨界比例度法。但無論采用哪一種方法所得到的控制器參數(shù)，都需要在實(shí)際運(yùn)行中進(jìn)行最后調(diào)整與完善。從應(yīng)用的角度看，只要被控對(duì)象主要指標(biāo)達(dá)到設(shè)計(jì)要求即可。這就給 現(xiàn)場調(diào)試提供了一個(gè)基準(zhǔn)。 19 一般情況下，增大比例系數(shù) Kp 會(huì)加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，有利于減少靜差。減小積分系數(shù) Ki將減少積分作用，有利于減少超調(diào)使系統(tǒng)穩(wěn)定，但系統(tǒng)消除靜差的速度慢。在試湊時(shí)，一般可根據(jù)以上參數(shù)對(duì)控制過程的影響趨勢(shì)，對(duì)參數(shù)實(shí)行先 比例、后積分、再微分的步驟進(jìn)行整定。首先將積分系數(shù) Ki 和微分系數(shù) Kd 取零，即取消微分和積分作用，采用純比例控制。如果系統(tǒng)靜差在規(guī)定范圍之內(nèi)，且響應(yīng)曲線已滿足設(shè)計(jì)要求，那么只需用純比例調(diào)節(jié)器即可。如果比例控制系統(tǒng)的靜差達(dá)不到設(shè)計(jì)要求，這時(shí)可以加入積分作用。反復(fù)試驗(yàn)幾次，直到消除靜差的速度滿意為止 。 ③微分部分整定。 總結(jié)出試湊法整定方法的規(guī)律為： 參數(shù)整定找最佳，從小到大順序查 。 曲線振蕩很頻繁，比例度盤要放大 。 曲線偏離回復(fù)慢，積分時(shí)間往下降 。 曲線振蕩頻率快，先把微分降下來 。 理想曲線兩個(gè)波，前高后低 4比 1。 ⑶擴(kuò)充臨界比例度法 這種方法適用于有自平衡的被控對(duì)象，是模擬系統(tǒng)中臨界比例度法的擴(kuò)充。 ②讓系統(tǒng)作純比例控制，并逐漸縮小比例度 ,系統(tǒng)產(chǎn)生臨界振蕩。 ③ 在一定的控制度下通過公式計(jì)算得到 PID 控制器的參數(shù)。在這個(gè)環(huán)境中，用戶可以利用鼠標(biāo)或鍵盤，完成面向框圖系統(tǒng)仿真的全部過程，并且可以更加直觀、快速和準(zhǔn)確地達(dá)到仿真的目標(biāo)。因此， MATLAB 公司往往把Simulink 與 MATLAN 并列進(jìn)行宣傳。對(duì)用戶來說，Simulink 中所用的仍然是 MATLAB 的語法， MATLAB 原有的函數(shù)在 Simulink 中仍然有效。這也顯示了其對(duì)用戶的友好性。構(gòu)成任何一個(gè)系統(tǒng)框圖有三個(gè)步驟，即選定典型環(huán)節(jié)、相互聯(lián)接和給定環(huán)節(jié)參數(shù)。 ⑵ 仿真的建立和運(yùn) 行是智能化的。 ⑶ 輸入輸出信號(hào)來源形式的多樣化。輸出信號(hào)也類似，這就擴(kuò)大了仿真系統(tǒng)與各種外部軟件和硬件的接口能力。 我們可以從界面中看到， Simulink 有下列內(nèi)容： ⑴ Source：提供信號(hào)源元件。 22 ⑶ Discrete：提供離散型元件。 ⑸ Nonlinear：提供非線性元件。 ⑺ Function＆ Tables：特定的功能函數(shù) 。 Simulink 的部分軟件工具包如表 所示 [23]。 Gauges Blockset 交互圖形和控制面板設(shè)計(jì)工具包 Communications Blockset 通訊系統(tǒng)工具包 CDMA Reference Blockset CDMA CDMA通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析工具包 Nonlinear Control Design Blockset 非線性控制設(shè)計(jì)工具箱 Motorola DSP Developer’s Kit Motorola DSP 開發(fā)工具箱 TI DSP Developer’s Kit TI DSP 開發(fā)工具箱 Simulink 的仿真程序 首先，在 MATLAB 的命令窗口中鍵入“ thermo”，就會(huì)出現(xiàn)如圖 所示的仿真程序的界面 [21]。只要使用Simulink 下之 Start 即可進(jìn)行仿真。我們可以通過菜單欄中 Simulation 欄中的 Simulation Parameters 選項(xiàng)設(shè)定模擬參數(shù)，包括仿真的起始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間，仿真計(jì)算的步長以及結(jié)果分析的輸出等等。仿真結(jié)果如圖 所示 。 ⑵ 高級(jí)編程語言。 ⑷ 工具箱提供面向具體應(yīng)用領(lǐng)域的功能。 ⑹ 提供與其它高級(jí)語言的接口。 ⑻ 開放與可擴(kuò)展的體系結(jié)構(gòu)。 Simulink 在 MATLAB 中，就分析的特性而言是非常方便的，不管是對(duì)線性系統(tǒng)、數(shù)字控 制、非線性系統(tǒng)。其輸入方式采用圖形輸入的方式，只要知道其信號(hào)流程圖之后，要進(jìn)行分析就顯得非常簡單。 圖 系統(tǒng)狀態(tài)方程特征根計(jì)算 可得到特征根如圖 所示 。 對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： DuCXy BuAXX ?? ??? （ ） 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1, ?? 是線性無關(guān)的 ,或nn? 維矩陣 ][ 1BAABB n????? 的秩為 n。 ??????????????? 3 5 6 5 100006 2 9 3 1 8 8 3 1 6 0010A （ ） ?????????????00B （ ） ??????? 0100 0001C （ ） ??????? 00D （ ） 代入上式，并在 MATLAB 中計(jì)算如圖 、圖 所示 [20]。 單級(jí)倒立擺的 PID 控制理論分析 單級(jí)倒立擺的 PID 控制分析 首先，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上。 28 圖 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中 KD(s)是控制器傳遞函數(shù)， G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。 圖 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 該系統(tǒng)的輸出為： )())(())(( )()())(())((1)()()(1)()(sFnumn u m P I Dd e nd e n P I D d e n P I DnumsFnumd e n P I Dnumn u m P I Dd e nsFsGsKDsGsy?????? （ ） 其中， num被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) den被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) denPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是： d e nnumsqb mg lsq mg lmMsq mlIbssqmlsUs ????????23242)()()()( （ ） 其中， ])())([( 22 mlmlImMq ???? PID 控制器的傳遞函數(shù)為： de nP IDnu m P IDs kskskskksksKD ipdipd ???????2)( （ ） 29 需仔細(xì)調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，以得到滿意的控制效果。 圖 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中， )(1sG 是擺桿傳遞函數(shù)， )(2 sG 是小車傳遞函數(shù)。 圖 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中，反饋環(huán)代表前面設(shè)計(jì)的控