多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法-閱讀頁(yè)
2025-06-03 23:22本頁(yè)面
【正文】 Mechanical and Structural Vibration 矩陣迭代法 求較高階的固有頻率及主振型 應(yīng)當(dāng)注意到 ， 在運(yùn)算中不可避免地存在舍入誤差 ， 即在迭代過程中難免會(huì)引入一些低階主振型分量 ， 所以在每一次迭代前都必須重新進(jìn)行清除運(yùn)算 。 ? ? ? ? ? ?DA D A A A? ? ? ?( )C C C n n1 1 2 2 ?所以 ? ? ? ? ? ? ? ?DA A DA A112121 1? ?p piii,? ? ? ? ? ?DA A A A? ? ? ?CpCpCp nnn1121 22222?因?yàn)? 從 DA中清除 A(1)， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DA A DA A A M A D A A M A? ? ? ? ?Cp M p M pT T1121 1 11 121 11 12( ) ( ( ) )Mechanical and Structural Vibration 矩陣迭代法 求較高階的固有頻率及主振型 從 DA中清除 A(1)， 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DA A DA A A M A D A A M A? ? ? ? ?Cp M p M pT T1121 1 11 121 11 12( ) ( ( ) )稱之為 已含清除矩陣的新動(dòng)力矩陣 。 ? ? ? ?D D A A M? ? ? 1 11 12( ) TM p因此 ， 包含前 P階清除矩陣的動(dòng)力矩陣為 ? ? ? ?D D A A M??? ? ?j j Tj jjPM p( )21Mechanical and Structural Vibration 矩陣迭代法 求較高階的固有頻率及主振型 例 55 用矩陣迭代法求例 54系統(tǒng)中的第二階固有頻率及主振型 。 它對(duì)求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效 。 將這些假設(shè)振型排列成 n s階矩陣 ， 即 ? ?A 0 1 2? ? ? ?? s其中每個(gè) 都包含有前 P階振型的成分，也含有高階振型的成分。但如果繼續(xù)用 進(jìn)行迭代，所有各階振型即 的各列都將趨于 A(1)。 用李茲法進(jìn)行振型正交化具有收斂快的特點(diǎn) 。 ?Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法 所以用 作為假設(shè)振型 ， 再按李茲法求解 ， 即設(shè) ?ⅠA aⅠ Ⅰ Ⅰ? ?可求得廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣 M MⅠ Ⅰ Ⅰ? ? ? ?T K KⅠ Ⅰ Ⅰ? ?? ? ?s s階待定系數(shù)方陣 K a M aⅠ Ⅰ Ⅰ Ⅰ? ?? p 2得到 s個(gè)值 及對(duì)應(yīng)的特征矢量 p2 aⅠ再由李茲法特征值問題，即求解方程 AⅠ從而求出 Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法 然后 ， 以求出的 作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代 ， 可求得 AⅠ? ?Ⅱ Ⅰ? MAA aⅡ Ⅱ Ⅱ? ?與李茲法特征值問題，解出 。 Mechanical and Structural Vibration 迭代的功能是使這 s個(gè)矢量的低階成分不斷地相對(duì)放大，即向 張成的子空間靠攏。 從幾何觀點(diǎn)上看，原 n階特征值系統(tǒng)有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征矢量，它們之間是正交的，張成一個(gè) n維空間。 由于用李茲法作了正交處理，則這些矢量不斷旋轉(zhuǎn)，最后分別指向前 s個(gè)特征值的方向。 Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法 在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn) ， 最低的幾階振型一般收斂很快 ， 經(jīng)過二至三次迭代便已穩(wěn)定在某一數(shù)值 。 所以 ， 在計(jì)算時(shí)要多取幾個(gè)假設(shè)振型 ， 如果所需求的是 P個(gè)振型 ， 則假設(shè)振型個(gè)數(shù) s一般應(yīng)在 2P與 2P+8之間取值 。 同時(shí)，在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中，系統(tǒng)的自由度數(shù)目可達(dá)幾百甚至上千，但是，實(shí)際需用的固有頻率與主振型只是最低的三、四十個(gè)，通常對(duì)此系統(tǒng)要進(jìn)行坐標(biāo)縮聚。因此，它已成為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的最有效的方法之一。 A 0 0 250 0 250 0 750 1 0001 000 1 000 0 000 0 900? ???? ???. . . .. . . .T解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣已由前例求出。.. ,..a aⅠ Ⅰ由上述方程有非零解的條件，得頻率方程為 各列分別歸一化后 ， 得 ? ????????????????????? ? ??????????????? Ⅰ Ⅰa0 3333 0 91670 6333 1 00000 8667 0 25001 0000 0 50001 0000 0 30150 0137 1 00000 3459 0 81620 6472 0 80900 8701 0 01130 9931 0 8015. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .AⅠ???????????????0 3483 1 00000 6515 0 99130 8761 0 01391 0000 0 9820. .. .. .. .Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法 ? MA Ⅰ ???????????????mk2 8760 0 99545 4036 0 99807 2798 0 00518 2798 0 9871. .. .. .. .? Ⅱ ? ? ???? ???0 3473 0 6526 0 8792 1 00001 0000 0 9954 0 0051 0 9917. . . .. . . .T重復(fù)上述過程進(jìn)行第二次迭代，由 歸一化后得 則有 M MK KⅡ Ⅱ ⅡⅡ Ⅱ Ⅱ??? ???????? ???????? ?? ?TTmk2 2196 0 00070 0007 2 97430 2788 0 00010 0001 2 9744. .. .. .. .( )K M a 0Ⅱ Ⅱ Ⅱ? ?? ?p 22 2798 2 3196 0 0001 0 00070 0001 0 0007 2 9744 2 97430012. . . .. . . .? ?? ????????????? ???????? ?? ?aa Ⅱ由 Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法 2 2798 2 3196 0 0001 0 00070 0001 0 0007 2 9744 2 97430012. . . .. . . .? ?? ????????????? ???????? ?? ?aa Ⅱ解得 6 8991 7 7315 0 8321 02. . .? ?? ? ?? ? ? ?? ?1 21 10 1206 1 00001 00000 00010 00031 0000? ?? ??????????????. , .
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