【正文】 ???????????????????44 0 0 0 t t t t1 t1 t2t1 t2 t2 s(t) s(t) h(t) t0 (a) (b) (c) 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 圖解 45 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 實際的匹配濾波器 一個實際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有： 即要求滿足條件 或滿足條件 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元 s(t)在抽樣時刻 t0之后必須為零。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為 0,0)( ?? tth 當(dāng)0,0)( 0 ??? ttts 當(dāng)0,0)( ttts ?? 當(dāng))()( tTksth s ??46 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 這時，若匹配濾波器的輸入電壓為 s(t)，則輸出信號碼元的波形為： 上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的 k倍。 )()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts???????????????? ???????????????????47 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 【 例 】 設(shè)接收信號碼元 s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。 其頻譜為 由 令 k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令 k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為 ??? ???tTtts s其他,00,1)(? ?? ??? ?? ??? sfTjftj efjdtetsfS ?? ? 22 121)()(t Ts s(t) 1 02)(*)( ftjefkSfH ???? ? ss fTjfTj eefjfH ??? 22 121)( ?? ??)()( 0 ttksth ??ss TttTsth ???? 0),()(48 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 此沖激響應(yīng)示于下圖。實際上， h(t)的形狀是 s(t)的波形以 t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號波形如下： t Ts h(t) 1 ss TttTsth ???? 0),()()()( so TtkRts ??t Ts so(t) 49 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 由其傳輸函數(shù) 可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因為上式中的 (1/j2?f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而 exp(j2?fTs)是延遲時間為 Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。 【 解 】 上式給出的信號波形 是一段余弦振蕩， 如右圖所示： 其頻譜為 ??? ???tTttfts s其他,00,2c os)( 0?)(41)(412c os)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSss TffjTffjT ftjftj???????????????????? ????????Ts 51 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 上式中已令 t0 = Ts。這樣，上式可以化簡為 h(t)的曲線示于下圖： ? ? ? ?)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftj??????????????????????sss TttTftTsth ?????? 0),(2c o s)()( 0?0/ fnT s ?sTttfth ??? 0,2c o s)( 0?52 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現(xiàn)在 s(t)和 h(t)在區(qū)間 (0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算： 顯然，當(dāng) t 0和 t 2Ts時，式中的 s(?)和 h(t?)不相交，故 s0(t)等于零。 (a) 信號波形 (b) 沖激響應(yīng) (c) 輸出波形 Ts Ts Ts 2Ts 55 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 ? 匹配濾波器接收電路的構(gòu)成 ? 對于二進制確知信號，使用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖示于下圖中。在抽樣時刻對抽樣值進行比較判決。若此二進制信號的先驗概率相等，則此方框圖能給出最小的總誤碼率。 目前，由于軟件無線電技術(shù)的發(fā)展，它日益趨向于用軟件技術(shù)實現(xiàn)。例；而例 則是已調(diào)數(shù)字信號的例子。證明如下： 匹配濾波器輸出電壓的波形 y(t) 可以寫成 在抽樣時刻 Ts，輸出電壓等于 可以看出，上式中的積分是相關(guān)運算，即將輸入 r(t)與 s(t)作相關(guān)運算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號。式中的 k是任意常數(shù)，通常令 k = 1。 匹配濾波法和相關(guān)接收法完全等效，都是最佳接收方法。試比較它分別通過匹配濾波器和相關(guān)接收器時的輸出波形。這兩種結(jié)果示于下圖中。 24s i n8121)4c os1(212c os2c os2c os)()()(000 00 0 0 0200ttfftdttft dtft dtftfdttststytt t t??????????? ? ???????相關(guān)器輸出 匹配濾波器輸出 60 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 ? 匹配濾波器的實際應(yīng)用 匹配濾波器的沖激響應(yīng) h(t)應(yīng)該和信號波形 s(t)嚴(yán)格匹配，包括對相位也有要求。對于隨相信號而言，就不可能使信號的隨機相位和 h(t)的相位匹配。下面就對此作進一步的分析。所以，按照 信號最佳接收時的判決準(zhǔn)則比較 M0和 M1，就相當(dāng)于比較上式的包絡(luò)。匹配濾波器的輸出經(jīng)過包絡(luò)檢波，然后作比較判決。 匹配濾波器 f0 包絡(luò)檢波器 比較判決 匹配濾波器 f1 包絡(luò)檢波器 t=Ts M0 M1 r(t) y0(t) y1(t) 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 63 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 ? 最佳基帶傳輸系統(tǒng) ? 何謂最佳基帶傳輸系統(tǒng)？ 設(shè)基帶數(shù)字信號傳輸系統(tǒng)由發(fā)送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數(shù)分別為 GT(f)、 C(f)和 GR(f)。當(dāng)時忽略了噪聲的影響，只考慮碼間串?dāng)_。 將消除了碼間串?dāng)_并且噪聲最小的基帶傳輸系統(tǒng)稱為 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 。所以，在系統(tǒng)設(shè)計時，有兩種分析方法： 1）假設(shè)信道具有理想特性，即假設(shè) C(f) = 1。 65 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 ? 理想信道的最佳傳輸系統(tǒng) ? 最佳傳輸系統(tǒng)的條件 假設(shè)信道傳輸函數(shù) C(f) = 1。 現(xiàn)在，將分析在 H(f)按照消除碼間串?dāng)_的條件確定之后，如何設(shè)計 GT(f)和 GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小?，F(xiàn)在，信號的頻譜就是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù) GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)為： 上式中已經(jīng)假定 k = 1。因此，上式可以寫為 所以得到接收匹配濾波器應(yīng)滿足的條件為 )(/)()( fGfHfG RT ?? ??02)()( ftjTR efGfG ????02)()()( ftjRR efHfGfG ???? ?022 )()( ftjR efHfG ????|)(|)( 2 fHfG R ?2/1)()( fHfG R ?67 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 由于上式條件沒有限定對接收濾波器的相位要求，所以可以選用 這樣，由 H(f) = GT(f)? GR(f) ，得到發(fā)送濾波器的傳輸特性為 上兩式就是最佳基帶傳輸系統(tǒng)對于收發(fā)濾波器傳輸函數(shù)的要求。一個碼元可以取下列 M 種電平之一： 其中 d為相鄰電平間隔的一半，如下圖所示。 在接收端，判決電路的判決 門限值則應(yīng)當(dāng)設(shè)定在： dMdd )1(,3, ???? ?d 3d 7d 5d 3d d 0 t 7d 5d dMdd )2(,4,2,0 ???? ?69 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 按照這樣的規(guī)定，在接收端抽樣判決時刻，若噪聲值不超過d，則不會發(fā)生錯誤判決。這種情況的出現(xiàn)占所有可能的 1/M。 現(xiàn)在來計算上式中的 P(| ? |d) 。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計特性仍服從高斯分布。由上述討論我們已經(jīng)知道，在 M 進制基帶多電平最佳傳輸系統(tǒng)中，發(fā)送碼元的頻譜形狀由發(fā)送濾波器的特性決定： 發(fā)送碼元多電平波形的最大值為 等。 M進制多電平信號的誤碼率曲線： 由此圖可見，當(dāng)誤碼率 較低時，為保持誤碼率 不變， M值增大到 2倍， 信噪比大約需要增大 7 dB。為了使高斯白噪聲條件下的接收誤碼率最小，在接收端可以采用一個匹配濾波器。為了消除碼間串?dāng)_，由第 6章的討論得知， H(f)必須滿足： 76 第 8章 數(shù)字信號最佳接收 為此，可以在接收端增加一個橫向均衡濾波器 T(f)，使系統(tǒng)總傳輸特性滿足上式要求。 ?非理想信道的最佳基帶傳輸系統(tǒng)方框圖 ? 最后需要說明的是，上面的討論是假定發(fā)送濾波器和信道特性已給定，由設(shè)計接收濾波器使系統(tǒng)達到最佳化。但是，分析結(jié)果表明，這樣做的效果和僅使接收濾波器最佳化的結(jié)果差別不大。 GT(f) C(f) GT*(f)C*(f) T(f) 最佳接收濾波器 n(t) 78 思考題和作業(yè) ? 什么是似然比準(zhǔn)則？什么是最大似然準(zhǔn)則？ ? 最小差錯概率準(zhǔn)則下，二進制確知信號的最佳接收機結(jié)構(gòu)如何？ ? 什么是二進制確知信號的最佳形式？ ? 什么是匹配濾波器，它是什么準(zhǔn)則下得到的最佳線性濾波器？ ? 什么是最佳基帶傳輸系統(tǒng)？ ? 作業(yè)： 103, 104, 109, 1011