【正文】 1：x﹣ y+1=0 與 l2： x﹣ y+3=0 所截得的線段的長為，則 m 的傾斜角可以是① 15176。③ 45176。⑤ 75176。（ I）證明： M是側(cè)棱 SC 的中點； （Ⅱ）求二面角 S﹣ AM﹣ B的大?。?20．（ 12 分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設在一局中，甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前 2 局中，甲、乙各勝 1局．（Ⅰ）求再賽 2 局結(jié)束這次比賽的概率； （Ⅱ）求甲獲得這次比賽勝利的概率． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =x4﹣ 3x2+6．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設點 P 在曲線 y=f（ x）上，若該曲線在點 P 處的切線 l通過坐標原點，求 l 的方程． 22．（ 12 分）如圖，已知拋物線 E： y2=x 與圓 M：（ x﹣ 4） 2+y2=r2（ r＞ 0）相交于 A、 B、 C、 D 四個點．（Ⅰ）求 r的取值范圍； （Ⅱ）當四邊形 ABCD 的面積最大時，求對角線 AC、 BD 的交點 P的坐標． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷Ⅰ）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60 分） 1．（ 5分） sin585176。 =sin（ 585176。）=sin225176。 +180176。 =﹣，故選： A．【點評】本題考查誘導公式及特殊角三角函數(shù)值． 2．（ 5 分）設集合 A={4， 5，7， 9}， B={3， 4， 7， 8， 9}，全集 U=A∪ B，則集合 ?U（ A∩ B）中的元素共有（） A． 3個 B． 4個 C． 5 個 D． 6 個【考點】 1H：交、并、補集的混合運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)交集含義取 A、 B 的公共元素寫出 A∩ B，再根據(jù)補集的 含義求解．【解答】解： A∪ B={3， 4， 5， 7，8， 9}， A∩ B={4， 7， 9}∴ ?U（ A∩ B） ={3， 5， 8}故選 A．也可用摩根律： ?U（ A∩ B） =（ ?UA）∪（ ?UB）故選： A．【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單． 3．（ 5 分）不等式＜ 1 的解集為（） A． {x|0＜ x＜ 1}∪ {x|x＞ 1}B． {x|0＜ x＜ 1}C． {x|﹣ 1＜ x＜ 0}D． {x|x＜ 0}【考點】7E：其他不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】本題為絕對值不等式，去絕對值是關鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值．【解答】解：∵ ＜ 1，∴ |x+1|＜ |x﹣ 1|，∴ x2+2x+1＜ x2﹣ 2x+1．∴x＜ 0．∴不等式的解集為 {x|x＜ 0}．故選： D．【點評】本題主要考查解絕對值不等式，屬基本題．解絕對值不等式的關鍵是去絕對值，去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方． 4．（ 5 分）已知 tana=4， cotβ =，則 tan（ a+β） =（） A． B．﹣ C． D．﹣【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】由已知中 cotβ =，由同角三角函數(shù)的基本關系公式，我們求出β角的正切值，然后代入兩角和的正切公式 ，即可得到答案．【解答】解：∵ tana=4， cotβ =，∴ tanβ =3∴ tan（ a+β） ===﹣故選： B．【點評】本題考查的知識點是兩角和與差的正切函數(shù)，其中根據(jù)已知中β角的余切值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系公式，求出β角的正切值是解答本題的關鍵． 5．（ 5 分）已知雙曲線﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的漸近線與拋物線 y=x2+1 相切，則該雙曲線的離心率為（） A． B． 2C． D．【考點】 KC：雙曲線的性質(zhì)； KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方 程，根據(jù)判別式等于 0，找到 a和 b 的關系，從而推斷出 a和 c 的關系，答案可得．【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得 ax2﹣ bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以 b2﹣ 4a2=0，即，故選： C．【點評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線的離心率，基礎題． 6．（ 5分）已知函數(shù) f（ x）的反函數(shù)為 g（ x） =1+2lgx（ x＞ 0），則 f（ 1） +g（ 1） =（） A． 0B． 1C． 2D． 4【考點】 4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】將 x=1代入即可求得 g（ 1），欲求 f（ 1），只須求當 g（ x） =1 時 x 的值即可．從而解決問題．【解答】解：由題令 1+2lgx=1 得 x=1，即 f（ 1） =1，又 g（ 1）=1，所以 f（ 1） +g（ 1） =2，故選： C．【點評】本小題考查反函數(shù)，題目雖然簡單，卻考查了對基礎知識的靈活掌握情況，也考查了運用知識的能力． 7．（ 5 分）甲組有 5名男同學， 3名女同學； 乙組有 6 名男同學、 2 名女同學．若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有（） A． 150 種B． 180 種 C． 300種 D． 345種【考點】 D1：分類 加法計數(shù)原理； D2：分步乘法計數(shù)原理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5O：排列組合．【分析】選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法， 1 名女同學來自甲組和乙組兩類型．【解答】解：分兩類（ 1）甲組中選出一名女生有 C51?C31?C62=225種選法； （ 2）乙組中選出一名女生有 C52?C61?C21=120 種選法．故共有345種選法．故選： D．【點評】分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理，最關鍵做到不重不漏，先分類，后分步！ 8．（ 5 分）設非零向量、滿足，則 =（） A． 150176。 C． 60176?！究键c】 9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，兩個向量的模長相等可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，三個向量起點處的對角線長等于菱形的邊長，這樣得到一個含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四邊形法則， ∵兩個向量的模長相等∴、可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，∵∴、為起點處的對角線長等于菱形的邊長，∴兩個向量的夾角是 120176。動點 P、 Q 分別在面α、β內(nèi)， P 到β的距離為， Q 到α的距離為，則 P、 Q 兩點之間距離的最小值為（）A． 1B． 2C． D． 4【考點】 LQ：平面與平面之間的位置關系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】分別作 QA⊥α于 A， AC⊥ l 于 C， PB⊥β于B， PD⊥ l 于 D，連 CQ， BD 則∟ ACQ=∟ PBD=60176。又∵當 且僅當 AP=0，即點 A 與點 P 重合時取最小值．故選： C．【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題． 12．（ 5 分）已知橢圓 C： +y2=1的右焦點為 F，右準線為l，點 A∈ l，線段 AF 交 C于點 B，若 =3，則 ||=（） A． B． 2C． D． 3【考點】 K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】過點 B作 BM⊥ x 軸于 M，設右準線 l 與 x軸的交點為 N，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知 FN=1，進而根據(jù)，求 出 BM， AN，進而可得 |AF|．【解答】解：過點 B 作 BM⊥ x 軸于 M，并設右準線 l 與 x軸的交點為 N，易知 FN=1．由題意，故 FM=，故 B點的橫坐標為，縱坐標為177。② 30176。④ 60176。其中正確答案的序號是 ①或⑤ （寫出所有正確答案的序號）【考點】 I2：直線的傾斜角； N1：平行截割定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】先求兩平行線間的距離，結(jié)合題意直線 m被兩平行線 l1與 l2所截得的線段的長為，求出直線 m與 l1的夾角為 30176。 l1的傾斜角為 45176。 +45176?；?45176。 =15176。（ I）證明： M是側(cè)棱 SC 的中點； （Ⅱ）求二面 角 S﹣ AM﹣ B 的大?。究键c】 LO：空間中直線與直線之間的位置關系； MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題； 14：證明題．【分析】（Ⅰ）法一：要證明 M 是側(cè)棱 SC 的中點，作MN∠ SD 交 CD 于 N，作 NE⊥ AB 交 AB 于 E，連 ME、 NB，則 MN⊥面 ABCD，ME⊥ AB，設 MN=x，則 NC=EB=x，解 RT△ MNE即可得 x 的值，進而得到 M為側(cè)棱 SC 的中點； 法二：分別以 DA、 DC、 DS 為 x、 y、 z 軸如圖建立空間直角坐標系D﹣ xyz，并求出 S點的坐標、 C 點的坐標和 M 點 的坐標，然后根據(jù)中點公式進行判斷； 法三：分別以 DA、 DC、 DS 為 x、 y、 z 軸如圖建立空間直角坐標系D﹣ xyz，構(gòu)造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明．（Ⅱ）我們可以以 D 為坐標原點，分別以 DA、 DC、 DS 為 x、 y、 z 軸如圖建立空間直角坐標系 D﹣ xyz，我們可以利用向量法求二面角 S﹣ AM﹣ B 的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）作 MN∠ SD 交 CD于 N，作 NE⊥ AB 交 AB 于 E，連 ME、NB，則 MN⊥面 ABCD， ME⊥ AB，設 MN=x，則 NC=EB=x，在 RT△ MEB 中，∵∟ MBE=60176。 B． 45176。 D． 120176。 tanB=．若以 A、 B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C，則該橢圓的離心率 e= ． 16．（ 5 分）已知菱形 ABCD 中， AB=2，∟ A=120176。則點 A到△ BCD所在平面的距離等于 ． 三、解答題（共 6小題，滿分 70 分） 17．（ 10 分）設△ ABC 的內(nèi)角 A、 B、 C所對的邊長分別為 a、 b、 c，且 acosB=3， bsinA=4．（Ⅰ）求邊長 a； （Ⅱ）若△ ABC 的面積 S=10，求△ ABC 的周長 l． 18．（ 12 分）四棱錐 A﹣ BCDE 中， 底面 BCDE 為矩形，側(cè)面 ABC⊥底面 BCDE， BC=2，AB=AC．（Ⅰ）證明： AD⊥ CE； （Ⅱ）設 CE 與平面 ABE所成的角為 45176。 B． 45176。 D． 120176。．故選： B．【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角，本題屬于容易題． 5．（ 5分）在△ ABC中， =， =．若點 D滿足 =2，則 =（） A． B． C． D．【考點】 9B：向量加減混合運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點，把整個過程寫下來，即為所求．本題也可以根據(jù) D點把 BC 分成一比二的兩部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故選：A．【點評】用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的 6．（ 5 分） y=（ sinx﹣ cosx） 2﹣ 1 是（） A．最小正周期為 2π的偶函數(shù) B．最小正周期為 2π的奇函數(shù) C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為π的奇函數(shù)【考點】 GG：同角三角函數(shù)間的基本關系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】把三角函數(shù)式整理，平方展開，合并同類項，逆 用正弦的二倍角公式，得到 y=Asin（ω x+φ）的形式，這樣就可以進行三角函數(shù)性質(zhì)的運算．【解答】解：∵ y=（ sinx﹣ cosx） 2﹣ 1=1﹣2sinxcosx﹣ 1=﹣ sin2x，∴ T=π且為奇函數(shù)，故選： D．【點評】同角三角函數(shù)的基本關系式揭示了同一個角的六種三角函數(shù)間的相互關系，其主要應用于同角三角函數(shù)的求值和同角三角函數(shù)之間的化簡和證明．單在應用這些關系式子的時候就要注意公式成立的前提是角對應的三角函數(shù)要有意義． 7．（ 5 分）已知等比數(shù)列 {an}滿足 a1+a2=3，a2+a3=6，則 a7=（） A． 64B． 81C． 128D． 243【考點】 87：等比數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由 a1+a2=3， a2+a3=6 的關系求得 q，進而求得 a1，再由等比數(shù)列通項公式求解．【解答】解：由 a2+a3=q（ a1+a2）=3q=6，∴ q=2，∴ a1（ 1+q） =3，∴ a1=1，∴ a7=26=64．故選： A．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項及整體運算． 8．（ 5分）若函數(shù)y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=ln 的圖象關于直線 y=x 對稱，則 f（ x） =（）A． e2x﹣ 2B． e2xC． e2x+1D． e2x+2【考點】 4R：反函數(shù)．菁 優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計算題．【分析】由函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=ln的圖象關于直線 y=x 對稱知這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù)y=f（ x）的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù) y=l