【正文】 三角有理函數(shù)的不定積分 二、定積分理論 （一）定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱)(xf 在 ],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf 在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )( ，即?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim 10 ?? 。 （ 2） ???? n0? ，反之不對(duì)。 （ 4）連續(xù)函數(shù)一定可積。 （ 6）若一個(gè)函數(shù)可積，則 ????? ???? ninba abniafn abdxxf1 )]([lim)(。 （二）定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()(，則 )(x? 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 （ 2） )()]([)()( xxfdttfdxd xa ??? ??? 。 例 1 設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx0 )()()(?，求 )(x?? 。 定理 2 （牛頓 — 萊布尼茲公式）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )(xF 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba ??? 。 分部積分法 — 設(shè) vu, 在 ],[ ba 上連續(xù)可導(dǎo)，則 ?? ?? bababa vduuvudv。 （ 2） ?? ? baba dxxfkdxxkf )()(。 （ 4） abdxba ???。 推論 1 設(shè) ))(()( bxaxgxf ??? ，則 ?? ? baba dxxgdxxf )()(。 （ 6）設(shè) )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 Mxfm ?? )( ，則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?。 定積分的 特殊性質(zhì) （ 1）對(duì)稱區(qū)間上定積分性質(zhì) 1）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，則 ?? ???? aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(。 3）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ??? ，則 0)( ???aa dxxf。 2） ?? ? TnT dxxfndxxf00 )()(。 2） nnn Idxxdxx 2s in2s in 200 ?? ???? 。 4）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? ?? ?00 )( s in2)( s in dxxfdxxxf。 例 2 計(jì)算 ? ??0 42 s ins in dxxxx。 （五）廣義積分 區(qū)間有限的廣義積分： （ 1） ],()( baCxf ? — 若對(duì)任意的 0?? ， ???? ba dxxf?? )(lim0存在，稱廣義積分?ba dxxf )( 收斂，否則稱為發(fā)散。 例 2 判斷 ??21 2)1( 1 dxx的斂散性。 例題 判斷 ??10 21 xdx的斂散性。 區(qū)間無(wú)限的廣義積分 （ 1） ),[)( ??? aCxf — 若 ???? bab dxxf )(lim存在，稱 ???a dxxf )(收斂，否則稱為發(fā)散。 （ 2） ],()( aCxf ??? — 若 ???? abb dxxf )(lim存在，稱 ???a dxxf )(收斂，否則稱為發(fā)散。 [注解 ] ?? 函數(shù) （ 1）定義 — ??? ????0 1)( dxex x??。 2） !)1( nn ??? 。 例題部分 （一）選擇題 設(shè) 5)2(,3)2(,1)0( ???? fff ，則 ? ??10 )2( dxxfx等于 （ ） )(A 0 )(B 2 )(C 2? )(D 1 2 、設(shè) ????2s i ns i n)( x ttd texF ，則 )(xF （ ） )(A 為正常數(shù) )(B 為負(fù)常數(shù) )(C 恒為零 )(D 不為常數(shù) 3 、設(shè) )(xf 連 續(xù) ， 則 ? ?x dttxtfdxd0 22 )(等于 （ ） )(A )( 2xxf )(B )(2xxf? )(C )(2 2xxf )(D )(2 2xxf? （二）填空題 _ _ _ _ _ _)12111(lim 222222 ????????? nnnnn ?。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _210 2 ??? dxxx。 _ _ _ _ _ _ _ _ _8410 2 ?????? dxxx _ _ _ _ _ _ _ _ _20 2 ????? dxex x。 設(shè) ???? 1032 )(1 1)( dxxfxxxf，則 _ _ _ _ _ _ _ _)(10 ?? dxxf。 （ 2） dxxI nn ? ?? 10 2 )1( 。 （ 4）計(jì)算 dxxfx )(10 2?，其中 ? ?? x t dtexf1 2)(。 （ 6） ???a xax dx0 22。 （ 1）證明： ?? ?? aaa dxxgAdxxgxf 0 )()()(。 證明下列等式： （ 1）設(shè) )(xf 連續(xù)，證明： ?? ??? baba dxxbafdxxf )()(。 （ 3）設(shè) )(xf 是以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明： ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(。 （ 5）設(shè) ]4,2[)( Cxf ??? ，且 0)3( ?f ，證明：存在 )4,2(?? ，使得 ???? 42 )(3)( dxxff ?。 證明下列不等式： （ 1）設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[, bayx ? ，有 |||)()(| yxyfxf ??? ，證明： 2 )(|)()()(| 2abafabdxxfba ????? 。 （ 3）設(shè) ?? x dttxS0 |c os|)(， 1）證明：當(dāng) n 為正整數(shù)，且 ?? )1( ??? nxn 時(shí)，有 )1(2)(2 ??? nxSn ； 2）求極限 xxSx)(lim???。 （ 5）設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上可導(dǎo)，且 0)()( ?? bfaf ，證明： )(|)(|21|)(| bxadxxfxf ba ???? ?。 設(shè) )}()(,|),{( 21 ?????? rrrrD ????? ，則 ? ?? ?? ??? drrA )]()([21 2122 。 （二）體 積 曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 設(shè) ))((: bxaxfyL ??? ，則 ?? bax dxxfV )(2? 。 截口面積已知的幾何體的體積： 設(shè)一幾何體介于 ax? 與 bx? 之間，對(duì)任意的 ],[ bax? ，截口面積為 )(xA ，則該幾何體的體積為 ?? ba dxxAV )(。 設(shè) )()( )(: ???? ????? ?? tty txL，則 dtttds )()( 22 ?? ???? ，從而 ? ???? ?? ?? dtttl )()( 22。 求曲線 )20()c o s1( )s in( ?????? ?? ?? ttay ttax與 x 軸所圍成圖形的面積。 設(shè) )(xfy? 是區(qū)間 ]1,0[ 上任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。 （ 2）設(shè) )(xf 在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)， 且 x xfxf )(2)( ??? ，證明（ 1）中的 c 是唯一的。 設(shè) cbxaxy ??? 2 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0?y ，又該曲線與 x 軸及 1?x所圍成的圖形面積為 31 ，求 cba, ，使次圖繞 x 軸一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積最小。 半徑為 R 的半球 形水池盛滿水，求水池抽干所做的功。 微分方程的階數(shù) — 微分方程中導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。 微分方程的通解 — 微分方程的解中所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的解數(shù)相等，這樣的解稱為微分方程的通解。 （ 2）解法 將 ),( yxfdxdy? 變量分離得 dxxydy )()( 12 ?? ?，兩邊不定積分得 ?? ? dxxydy )()( 12 ??。 （ 2）解法 對(duì)方程 )(xydxdy ?? ，令 xyu? ，則有 )(udxduxu ??? ，變量分離得 xdxuudu ??)(? ，積分即可。 （ 2）通解公式 ?? ? dxxPCey )( （其中 C 為任意常數(shù)）。 （ 2）通解公式 ???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([ （其中 C 為任意常數(shù)）。 （ 2）解法 令 zy n ??1 ，則原方程化為 )()1()()1( xQnzxPndxdz ???? 。 （ 2）解法 因?yàn)閥PxQ ?????，所以存在 ),( yxu ，使得 dudyyxQdxyxP ?? ),(),( ，從而原方程的通解為 Cyxu ?),( ，其中 ?? ?? yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0。 0),( ???? yyxf 解法：令 py?? ，則 dxdpy ?? ，于是原方程可化為 0),( ?dxdppxf ，解出 ),( 1Cxp ?? ，于是原方程的通解為 21 ),( CdxCxy ?? ?? 。 （三）高階線性微分方程 基本理論 稱 0)()()( 1)1(1)( ?????? ?? yxayxayxay nnnn ? （ 1） 為 n 階齊次線性微分方程。方程（ 1）、（ 2）的解的結(jié)構(gòu)如下： 1）設(shè) )(,),(),( 21 xxx s??? ?為（ 1）的一組解，則 )()()( 2211 xkxkxk ss??? ??? ?為方程（ 1）的解。 3）若 )(),( 21 xx ?? 為（ 2）的兩個(gè)解，則 )()( 21 xx ?? ? 為（ 1）的解。 5）若 )(,),(),( 21 xxx s??? ?為（ 2）的一組解，則 )()()( 2211 xkxkxk ss??? ??? ?為（ 2）的解的充分必要條件是 121 ???? skkk ? 。 7）若 )(,),(),( 21 xxx n??? ?為（ 1）的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解， )(0 x? 為（ 2）的一個(gè)特解，則 )()()()( 02211 xxkxkxk nn ???? ???? ?為（ 2）的通解。 1）當(dāng) 042 ???? qp 時(shí)，兩特征值為 21 ??? ，則原方程的通解為 xx eCeCy 21 21 ?? ?? 。 3）當(dāng) 042 ???? qp 時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛虛根 i??? ??2,1 ，則原方程的通解為 )s i nc o s( 21 xCxCey x ??? ?? 。 微分方程 0)4( 2 ??? dyxxydx 的通解為 _________________ 。 （三）解答題 求微分方程 xxeyyx ??? 的滿足初始條件 1)1( ?y 的特解。 （ 2）求微分方程 xexnyyx xn s in)1()1( 1?????? 的通解。 求微分方程 02 2 ????? yxy 滿足初始條件 21)0(,1)0( ???? yy 的特解。 求微分方程 xeyyy 332 ??????? 的通解。 求微分方程 xxyy cos????? 的通解。 特殊矩陣有 （ 1）零矩陣 — 所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣。 （ 3）單位矩陣 — 主對(duì)角線上元素皆為 1其余元素皆為零的矩陣稱為單位矩陣。 同型矩陣 — 行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣 稱為同型矩陣。 我想，每一次都推薦一下對(duì)大家都非常有用的信息，只推薦三個(gè)有用的，其他的我覺得都沒什么意思，每一次推薦都不容易，希望大家珍惜。一切都做了，離成功就近了，好運(yùn)與機(jī)遇就會(huì)降臨。 推薦快速學(xué)習(xí)一下思維導(dǎo)圖法與快速閱讀法，對(duì)理解與記憶的幫助十分之大，里面有針對(duì)考研版本，對(duì)于時(shí)間不夠用，效率低的同學(xué)特別適用，本人切身體驗(yàn)，沒用不會(huì)推薦希望對(duì)大家也有幫助！建議練上 30 小 時(shí)足矣。） 大家網(wǎng)考試論壇，是國(guó)內(nèi)最知名的考研和考公務(wù)員論壇。 矩陣運(yùn)算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????