【正文】 13 參考文獻(xiàn) ................................................................ 14 謝辭 .................................................................... 15 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 1 1 引言 數(shù)學(xué)公式是由一系列字母、符號(hào)組合而成的，公式變形的方式多種多樣，揭示數(shù)學(xué)公式變形的一般規(guī)律對深化數(shù)學(xué)公式教學(xué)有積極的意義 .由于公式中的字母可以代表數(shù)、式、函數(shù)等有數(shù)學(xué)意義的式子，因此可以根據(jù)需要對公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理，或移項(xiàng)、或代換、或迭代、或取特殊值、或配湊等等，這一系列變化統(tǒng)稱為公式變形 .數(shù)學(xué)公式變形是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的逆向思維、求異思維、辨證思維訓(xùn)練的好素材 .教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)細(xì)心捕捉、深入挖掘，使學(xué)生 的數(shù)學(xué)思維能力得到提升 . 對于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，要盡可能開拓多種思維渠道，從不同角度達(dá)到思維的目標(biāo)，其態(tài)度是發(fā)散的，特點(diǎn)是活潑的，結(jié)果是創(chuàng)造性的 .變化思考角度，可以通過變化公式的各種運(yùn)用方式，或可以改變公式形式進(jìn)行多式教學(xué)，還可以通過改變題式、一題多解等辦法進(jìn)行，使學(xué)生避免沿襲思維的慣常定勢，講究一點(diǎn)創(chuàng)造性思維，考慮問題就會(huì)不斷深化，思維才能得到真正地發(fā)展 . 利用公式變形訓(xùn)練，可以把一個(gè)看似孤立的問題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成一個(gè)有規(guī)律可尋的系列，幫助學(xué)生在問題的解答過程中尋找解決類似問題的思路、方法，有意識(shí)地 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，培養(yǎng)其獨(dú)立分析問題并解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處 .更重要的是，通過數(shù)學(xué)公式變形教學(xué)，讓學(xué)生利用有限的時(shí)間創(chuàng)造無限的效益，培養(yǎng)學(xué)生敢于思考、敢于聯(lián)想、敢于質(zhì)疑的品質(zhì)與自主探究能力及創(chuàng)新精神 . 本文就中學(xué)生解題過程中常用到的幾種公式： 乘法公式、三角公式、遞推公式的基本變形，淺談一下公式變形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的靈活應(yīng)用 . 2 公式變形的基本方法及提高中學(xué)生公式變形能力的意義 公式變形的要求 公式變形要“三有” [1]： （ 1）公式變形要有矢 公式變形最終要體現(xiàn)其應(yīng)用的目的 .一個(gè)公式的等價(jià)形式往往有多種，做題過程中我們應(yīng)該有目的地選用變形公式，以提高公式的效能 .公式變形一定要做到有的放矢， 而不是簡單的數(shù)學(xué)符號(hào)的變形游戲 .否則，就失去了公式變形的意義 . （ 2）公式變形要有據(jù) 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 2 數(shù)學(xué)公式中的字母可以代表數(shù)、式、函數(shù)等有數(shù)學(xué)意義的式子，因此公式變形要有據(jù)，要在公式有意義的情況下對公式進(jìn)行合理而適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理，例如移項(xiàng)、等量代換、取特殊值等，這一系列變化就是有據(jù)的公式變形 . （ 3）公式變形要有益 公式變形不僅僅是對原標(biāo)準(zhǔn)公式功能的拓寬， 而且在公式變形中，可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，體現(xiàn)公式轉(zhuǎn)化功能，使學(xué)生深刻理解公式的本質(zhì) .有許多公式在標(biāo)準(zhǔn)形式下不易看出其本質(zhì)特征，但通過對公式進(jìn)行適當(dāng)變形后，就可以從另外一個(gè)角度清楚地反應(yīng)出其內(nèi)涵，故公式變形有益于體現(xiàn)公式的內(nèi)涵 . 公式變形的基本方法 公式變形的基本手段 對于一個(gè)基本公式，通過移項(xiàng)、分配、結(jié)合、代換、 迭代、 配湊等基本手段，可以得到許多相應(yīng)的公式 .例如，由兩角和的余弦公式，在令 ??? 的前提下得到了二倍角的余弦公式 : ??? 22 s inc os2c os ?? ,在由平方關(guān)系 1c ossin 22 ?? ?? ，又可得到下面的兩個(gè)變形公式： 1c o s22c o s 2 ?? ?? ?? 2s in212c os ?? 公式的各種變形用法 橫看成嶺側(cè)成峰，真正掌握公式就要懂得公式的逆用、湊用、多用、橫用與其推廣應(yīng)用 [2]. “逆用公式”是一種逆向思維，它可以從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索到變的規(guī)律。 na 型 對于這種類型的題目，常將 )(1 nn fa ?? 21??nnaa 12aa 1a? 1?na （ 2?n ），求數(shù)列的通項(xiàng)公式 na . 解 當(dāng) 2?n 時(shí)，由11 ?? nnn aaaa ?qqann 1?，引入輔助數(shù)列nnn qab ?，得qbqpb nn 11 ???，然后可歸結(jié)為類型（ 4）求解 . 例 19 已知 0?b 且 1??b ，21 )1( 1ba ??， bban ??1 1)1( ??? nn bba na ，于是，原遞推公式可化為：bbbxx nn ??? ? 11， 仿類型（ 4），可解得)1)(1( 1 bb bbx nn ?? ?? ?， 故11)1)(1( ???? ?? nnn bb bba. （ 6） )(1 nnn fpaa ??? 型 對于這種類型的題目，通常引入一些尚未待定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，然后經(jīng)過變形與比較，把問題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求解 . 例 20 設(shè)數(shù)列 }{na 滿足： 11?a ， 12211 ??? ? naa nn（ 2?n ），求通項(xiàng)公式 na . 解 設(shè) BAnab nn ??? ，則 BAnba nn ??? ， BnAba nn ???? ?? )1(11 ， 又 12211 ??? ? naa nn，所以： 12])1([211 ???????? ? nBnAbBAnb nn化為了（ 4）型，則 )12121()221(211 ?????? ? BAnAbb nn，設(shè) 0221 ??A ， 012121 ??? BA ， 解得， 4??A ， 6?B ，所以，121 ?? nn bb且 64 ??? nab nn ，又 }{nb 是以 3為首項(xiàng)、 以 21 為公比的等比數(shù)列，故有123?? nnb，由此得： 642 31 ??? ? na nn. （ 7） nnn qapaa ?? ?? 12 型 對于這種類型的題目，也通常引入一些 尚未待定的系數(shù)，將原式變形為 )( 112 nnnn aaaa ??? ??? ??? ，構(gòu)造等比數(shù)列求解 [9]. 例 21 已知數(shù)列 }{na 中， 11?a ， 22?a ，nnn aaa 3132 12 ?? ??，求 na . 解 在原遞推公式nnn aaa 3132 12 ?? ??兩邊同時(shí)減去 1?na ，得到新的遞推公式 : )(31 112 nnnn aaaa ???? ??? ， 所以 }{ 1 nn aa ?? 是以 112 ??aa 為首項(xiàng)、以 31? 為公比的等比數(shù)列， 則 11 )31( ?? ??? nnn aa，令該式中的 1)(n, ,3 ,2 1 ??n ，再把這（ 1?n ）個(gè)式子左右兩邊分別相加，得： ])31(1[43311)31(1)31()31()31(1 11221??? ???????????????? nnnn aa ? 所以， ])31(1[431 1????? nna. 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 13 等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是各種考試考查的熱點(diǎn)，而由遞推公式確定數(shù)列通項(xiàng)公式的問題其考查的目的就是在于測試學(xué)生靈活將遞推公式變形運(yùn)用的能力，“變形”是為了“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的目的是為化陌生為熟悉，而我們最熟悉的數(shù)列即等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式采用不同的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，最后求解 . 4 小結(jié) “學(xué)無止境，教無定法”，數(shù)學(xué)的教與學(xué)也是如此 .中學(xué)數(shù)學(xué)中錯(cuò)綜復(fù)雜的公式、繁重的計(jì)算量常常使許多學(xué)生無所適從，既花費(fèi)了大量的時(shí)間，又得不到正確的答