20xx年東北三省四市高三模擬考試即長春三模理數(shù),全word-閱讀頁
2024-09-12 15:54本頁面
【正文】 ()gx求導(dǎo)得 2( l n 1 ) l n l n 1 l n()xxx e x x e x x xgx ee? ? ? ? ?? ??. 令 ( ) ln 1 lnh x x x x? ? ?，則 1( ) ln 1h x xx? ? ? ?，顯然 ()hx? 是減函數(shù) . 又 (1) 0h? ? ，所以函數(shù) ( ) ln 1 lnh x x x x? ? ?在 (0,1) 上是增函數(shù)，在 (1, )?? 上是減函數(shù)，而 22 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2( ) l n 1 l n 2 1 0eh e e e e e e?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， (1 ) ln 1 1 ln 1 1 0h ? ? ? ? ?， ( ) l n 1 l n 1 1 2 0h e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以函數(shù) ( ) ln 1 lnh x x x x? ? ?在區(qū)間 (0,1) 和 (1, )?? 上各有一個(gè)零點(diǎn)，令為 1x 和2x 12()xx? ，并且有 : 在區(qū)間 1(0, )x 和 2( , )x ?? 上， ( ) 0,hx? 即 ( ) 0gx? ? ；在區(qū)間12( , )xx 上， ( ) 0,hx? 即 ( ) 0gx? ? . 從而可知函數(shù) ()gx 在區(qū)間 1(0, )x 和 2( , )x ?? 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 12( , )xx 上單調(diào)遞增 . (1) 0g ? ，當(dāng) 01x??時(shí)， ( ) 0gx? ； 當(dāng) 1x?時(shí)， ( ) 0gx? . 還有 2()gx 是函數(shù)的極大值，也是最大值 . 題目要找的 2mx? ，理由是： 當(dāng) 2ax? 時(shí)，對于任意非零正數(shù) x ， 2a x a x? ? ? ，而 ()gx 在 2( , )x ?? 上單調(diào)遞減，所以 ( ) ( )g a x g a?? 一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明2mx≤ ； 當(dāng) 20 ax?? 時(shí)，取 2x x a??，顯然 0x? 且 2( ) ( ) ( )g a x g x g a? ? ?，題目所要求的不等式不恒成立，說明 m 不能比 2x 小 . 綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù) m 就是 2x ，即存在最小正常數(shù) 2mx? ，當(dāng) am? 時(shí)，對于任意正實(shí)數(shù) x ，不等式 ( ) ( ) xf a x f a e?? 恒成立 . (12 分 ) ( 注意：對于 1x 和 2x 的存在性也可以如下處理： 令 ( ) ln 1 ln 0h x x x x? ? ? ?，即 1ln 1x x? ? . 作出基本函數(shù) lnyx? 和 11y x? ? 的圖像，借助于它 們的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)很容易知道方程 1ln 1x x? ? 有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根1x 和 2x ，且 101x??， 2 1x? （實(shí)際上 2 ? ），可知函數(shù) ()gx 在區(qū)間 1(0, )x和 2( , )x ?? 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 12( , )xx 上單調(diào)遞增 . (1) 0g ? ，當(dāng) 01x??時(shí)，( ) 0gx? ；當(dāng) 1x? 時(shí)， ( ) 0gx? . 還有 2()gx 是函數(shù)的極大值，也是最大值 . ） 22. (本小題滿分 10分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查平面幾何的證明及其運(yùn)算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識(shí)內(nèi)容 . 【試題解析】 ⑴因?yàn)?MA 為圓的切線，所以 2MA MB MC??. 又 M 為 PA 中點(diǎn)，所以 2MP MB MC??. 數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第 13 頁（共 4 頁） 因?yàn)?BMP PMC? ? ? ，所以 BMP? 與 PMC? 相似 . （ 5 分） ⑵由⑴中 BMP? 與 PMC? 相似，可得 MPB MC P? ? ? . 在 MCP? 中，由 180M PB M C P BPC BM P? ? ? ? ? ? ? ?， 得 180 202B P C B M PM P B ? ? ? ?? ? ?. (10 分 ) 23. (本小題滿分 10分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)內(nèi)容 . 【試題解析】 對于曲線 M,消去參數(shù)，得普通方程為 2,12 ??? xxy ,曲線 M 是拋物線的一部分； 對于曲線 N，化成直角坐標(biāo)方程為 tyx ?? ，曲線 N 是一條直線 . (2分 ) (1)若曲線 M,N只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線 N過點(diǎn) ( 2,1) 時(shí)滿足要求，并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過點(diǎn) ( 2,1)? 之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，所 以 2 1 2 1t? ? ? ? ?滿足要求；相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，由 12 ??? xxt ，得 2 1 0,x x t? ? ? ? 1 4(1 ) 0t? ? ? ? ?，求得54t?? . 綜合可求得 t 的取值范圍是： 2 1 2 1t? ? ? ? ?或 54t?? . （ 6分） (2)當(dāng) 2??t 時(shí)，直線 N: 2???yx ，設(shè) M上點(diǎn)為 )1,( 200 ?xx ， 0 2x ? ，則 8232 43)21(21 20200 ??????? xxxd ， 當(dāng)0 12x ??時(shí)取等號(hào)，滿足 0 2x ? ，所以所求的最小距離為823. (10 分 ) 24. (本小題滿分 10分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到絕對值不等式及不等式的解法以及函數(shù)等有關(guān)知識(shí)內(nèi)容 . 【試題解析】 解： （ 1）????????????????1,1311,31,13)(xxxxxxxf 當(dāng) 1?x 時(shí)，由 513 ??x 解得： 34?x ；當(dāng) 11 ??? x 時(shí)，由 53??x 得 2?x ，舍去 ； 數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第 14 頁（共 4 頁） 當(dāng) 1??x 時(shí)，由 513 ??? x ，解得 2??x . 所以原不等式解集為 4|23x x x??? ? ?????或. (5分 ) （ 2）由（ 1）中分段函數(shù) ()fx的解析式可知 : ()fx在區(qū)間 ? ?,1??? 上單調(diào)遞減，在區(qū)間? ?1,? ?? 上單調(diào)遞增 .并且 m in( ) ( 1) 2f x f? ? ?，所以函數(shù) ()fx的值域?yàn)?[2, )?? .從而( ) 4fx? 的 取值范 圍是 [ 2, )? ?? ,進(jìn)而 1( ) 4fx? ( ( ) 4 0)fx?? 的 取值 范圍是1( , ] (0, )2?? ? ??.根據(jù)已知關(guān)于 x 的方程 1( ) 4 afx ?? 的解集為空集，所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1( ,0]2? . (10 分 )
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