【正文】 律的差異；（ 4）向量的坐標運算使得向量運算完全代數(shù)化，向量與函數(shù)、數(shù)列、解三角形、不等式等相結(jié)合形成了代數(shù)的綜合問題（如例 例 例 4），在知識的交匯點處命題來考查了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力 . 習(xí)題 2— 3 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 1. （ 2020 年 湖南理 數(shù)） 在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，設(shè) 2 , 3BC BD C A C E??，則________AD BE?? . 2. 關(guān)于平面向量有下列四個命題： ① 若 ? ? ?a b a c ，則 ?bc； ② 已知 ( , 3) , ( 2, 6)k? ? ?ab． 若ab∥ ，則 1k?? ； ③ 非零向量 a 和 b ，滿足 ||?|a|=|b| a b ，則 a 與 a+b 的夾角為 30 ；④ ( ) ( ) 0| | | | | | | |? ? ? ?a b a ba b a b． 其中正確的命題為 ___________．（寫出所有正確命題的序號） 2 1( , 1 ) , ( , )1a m x b xmx? ? ? ? (m 是常數(shù) ), (1)若 1()fxab? ?是奇函數(shù)，求 m 的值 。 (1)求以線段 AB、 AC 為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長； (2)設(shè)實數(shù) t 滿足 ( OCtAB? )設(shè)=O C m O A nO B? ( , )mn R? ，則 nm 等于（ ） A. 31 C. 33 D. 3 題型三 平面向量與平面幾何綜合的問題 圖 242?? x C y F E D A B o P 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 例３： ⑴ 已知 ABC? 中，過重心 G 的直線交 AB 于 P ，交邊 AC 于 Q ，設(shè) APQ? 的面積為1S ， ABC? 的面積為 2S ， AP pPB? ， AQ qQC? ，則 ① pqpq?? ， ② 12SS 的取值范圍是 ； ⑵ 已知圓 O 的半徑為１， ,PAPB 為該圓的兩條切線， A 、 B 為兩切點，那么 PAPB? 的最小值為（ ） Ａ． 42?? Ｂ． 32?? Ｃ． 4 2 2?? Ｄ． 3 2 2?? 點撥： ⑴ 令 12, , , , ,A B a A C b A P a A Q b P Q P G? ? ?? ? ? ? ?通過引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出 p 和 q 之間的關(guān)系式； ⑵ 用 APB? 的三角函數(shù)形式表示出 PAPB? ，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，使用向量?shù)量積的坐標運算形式求解 . 解： ⑴ 1pqpq?? ； 12SS 41[ , ).92?設(shè) 12, , , ,A B a A C b A P a A Q b??? ? ? ?因為 G 是 △ ABC的 重 心 ， 故 1 ()3AG a b??，又111()33P G A G A P a b?? ? ? ? ?，21P Q A Q A P b a??? ? ? ?，因為 PG 與 PQ 共線，所以 PQ PG?? ，即1 1 211[ ( ) ] ( ) 033ab? ? ? ? ?? ? ? ? ?，又 a 與 b 不共線， 所以111()3? ? ?? ??及213???，消去 ? ，得 1 2 1 23? ? ???? ； ① 121 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 3 2 1pq ??? ? ? ? ? ? ? ?，故 1pqpq?? ； ② 1211 1()3 1 3???????，那么12| | | | s inSA P A Q B A CA B A C B A C? ? ?? 2112 21111 3 931 ()24???? ?? ? ?? ? ? ?，當(dāng) P 與 B 重合時，1 1?? ，當(dāng) P 位于 AB 中點時， 1 12?? ，故 1 1[ ,1]2?? ，故 12SS 41[ , ].92? ， 但因為 P 與 B 不能重合，故 12SS 41[ , ).92? A P B Q G C 圖 2 4 3?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 圖 2 4 6?? ⑵ 選 一：如圖 244?? ，令 ,0APB ? ? ?? ? ? ? c o sP A P B P A P B ??? 22222221 22ta n 2( 1 s in ) ( 1 2 s in )c o s( ) c o s ( 1 2 s in )2s in s in??? ???? ??? ? ? ?， 令 2si n , 0 12xx?? ? ?， ( 1 ) ( 1 2 ) 12 3 2 2 3xxP A P B xxx??? ? ? ? ? ? ?； 方法二：以圓心 O 的坐標原點，以 OP 為 x 軸，建立坐標系：圓的方程為 221xy??， 設(shè) 11( , )Ax y ， 11( , )B x y? ， 0( ,0)Px ，2 2 21 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1( , ) ( , ) 2P A P B x x y x x y x x x x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，由 AO PA??1 1 1 0 1( , ) ( , ) 0x y x x y? ? ? 221 1 0 1 1 001x x x y x x? ? ? ? ? ?， 所以有 2 2 21 1 0 0 12P A P B x x x x y? ? ? ? ?2 2 2 2 21 0 1 1 02 ( 1 ) 2 3 2 2 3x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 易錯點： ⑴ 沒有正確引入中間變量使得 p 和 q 之間的關(guān)系 式運算出錯： ⑵ 對 PAPB? 的三角形式化簡方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標系沒有利用 AO PA? 得出 101xx? ，難以繼續(xù)演算． 變式與引申 5： ⑴ （ 2020 合肥一中） O 是平面上一定點， ,ABC 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足 OP OA ??? , [ 0 , )s in | | s in | |A B A CB A B C A C ???? ? ? ?????則 P 的軌跡一定通過 ABC? 的 ( ) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 2 4 5?? ，半圓的直徑 4AB? ， O 為圓 心， C 是圓弧上不同于 ,AB的任意 一點，若 P 為半徑 OC 上的動點，則 ()PA PB PC??的最小值是 ； 題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問題 例 4： 如圖 2 4 6?? ,已知雙曲線 C： 221xyab??( 0 0)ab??， ，直線 21 alxc?：與一條漸近線 l2 交于點 ,MF是雙曲線 C的右焦點， O 為坐標原點 . ⑴求證： OM MF? ； ⑵若 1MF? ,且雙曲線 C的離心率 62e? ，求雙曲線 C 的方程； ⑶在⑵的條件下，直線 l3 過點 (0,1)A 與雙曲線右支交于不同的兩點 ,PQ，且 P 在 ,AQ之間，滿足 AP AQ?? ，試判斷 ? 的范圍，并 用代數(shù)方法給出證明 . 【 注 】 考慮課程標準 和教材 關(guān)于 雙 曲線 的準線方程不作 要求，所以題目里給出 的直線B 圖 244?? P A O A C B P O 圖 2 4 5?? 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 21 alxc?：實際上就是雙曲線的 右準線 . 點撥： ⑴由題意寫出點 ,MF的坐標，判斷 0OM MF??即可； ⑵由離心率和 1MF? 建立關(guān)于 ,ab方程組求解出 ,ab的值； ⑶ 由題意可初步猜想出 0 1? ?? ，用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來進一步推證 . 解： ⑴ 因為 21 alxc?：，漸近線2 bl y xa?：；所以 2()a abM cc， ， 又 ( ,0)Fc ， 2 2 2c a b?? ， 得 出 2()a abOM cc? ， ， 22( ) ( )a a b b a bM F c c c c c? ? ? ? ?， ，有2 2 2 222a b a bO M M F cc? ? ?0?，所以 OM MF? . ⑵因為 62e? ，所以 2 21 2b ea ? ? ? ，即 222ab? ；又 1MF? ，故 4 2 2221b a bcc??，2 2 22()1b b ac? ?， 解得 2212ba??， ， 即所求的雙曲線 C 的方程為： x y2 22 1? ? ． ⑶ 由題意可得 0 1? ?? ．證明：設(shè) 3l ： 1y kx??，點 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， 由 2222xy??和 1y kx?? 聯(lián)立消去 y 得出方程： 22(1 2 ) 4 4 0k x k x? ? ? ?，因為 3l 與雙曲線 C 右支交于不同的兩點,PQ 得出不等式組：22212 212 21 2 016 16 (1 2 ) 040124012kkkkxxkxxk? ???? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ????；化簡得2222101 2 0kkkk????????? ??? ???；解得21 2k? ? ?? ；又 AP AQ?? ，有 1 1 2 2( 1 ) ( 1 )x y x y?? ? ?， ，成立， 12xx?? ；故2 24(1 ) 12kx k????， 22 2412x k? ?? ?，消 2x 得 2(1 )??? ? 222 2 21 6 4 224 (1 2 ) 2 1 2 1kkk k k? ? ?? ? ? ?；因為 21 2k? ? ?? ，有 20 2 1 1k? ? ? 成立，得出我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 2(1 ) 4??? ? ， 解得 ??? 且 1?? ，根據(jù)題意知 P 在 ,AQ之間，所以 ? 的取值范圍是 (0,1) ． 易錯點： 在第⑶問中字母的代數(shù)式運算出錯，解得 ??? 且 1?? 之后，不結(jié)合題意分析 ? 的取值范圍 . 變式與引申 7 已知定點 A (1,0)和 B (1,0)， P 是圓 22( 3) ( 4) 4xy? ? ? ?上的一動點，則22PA PB? 的最大值是 ；最小值是 . 本節(jié)主要考查 ⑴ 知識點有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積 的 幾何意義及運算，平面向量平行和垂直位置關(guān)系； ⑵ 演繹推理能力、運算能力、創(chuàng)新意識； ⑶ 數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析 解決問題． 點評 ⑴ 認識向量的幾何特性．對于向量問題一定要結(jié)合圖形進行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地 運用 向量的各種運算來處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問題（如例 例 2），要善于利用向量 “數(shù) ”與 “形 ”兩方面的特征； ⑵ 理解向量數(shù)量積的定義、運算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長和垂直的相關(guān)問題； ⑶ 平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點， 注意 向量在知識的交匯點處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識相結(jié)合的綜合問題（如例３）及平面向量作為解析幾何問題的已知條 件與之交織在一起的綜合問題（例４）； ⑷ 平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)生要善于運用向量方法解題，樹立運用向量知識解題的意識； ⑸ 知曉 三角形五 “心 ”向量形式的充要條件， 設(shè) O 為 ABC? 所在平面上一點，角 ,ABC 所對邊長分別為 ,abc，則 ① O 為 ABC? 的外心 2 2 2O A O B O C? ? ?； ② O 為 ABC? 的重心 0OA OB OC? ? ? ?； ③ O 為 ABC? 的垂心 O A O B O B O C O C O A? ? ? ? ? ?； ④ O 為 ABC? 的內(nèi)心 0a O A bO B c O C? ? ? ?； ⑤ O 為 ABC? 的 A? 的旁心 a O A b O B c O C? ? ?； 習(xí)題２－４ 1． 已知非零向量 AB 與 AC 滿足 (| | | |AB ACAB AC?) (1)求以線段 AB、 AC 為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長； (2)設(shè)實 數(shù) t 滿足 ( OCtAB? )18