【正文】 。 第 4次作業(yè) 121 ???? ?? ?????? ??? xxxxu 21 21)( ????RX),( rpu)1,()( pupA ?rpArpu )(),( ?第 5講 基于偏好的需求 馬歇爾需求以消費者偏好為前提，可稱作 基于偏好的需求 。比如，你只需觀察家庭主婦在超市或商場購買的東西，很快就知道她的需求是什么。 研究基于偏好的需求的目的，是要解釋現(xiàn)實需求如何決定。本講就來研究基于偏好的需求的性能，看看它是否符合現(xiàn)實需求的特點。 ? 需求的決定、 連續(xù)性與可微性 ? 價格和收入的變動對于需求的影響：替代效應與收入效應 一、需求的決定、連續(xù)性與可微性 需求決定是需求分析的基礎，而上一講講述的效用最大化理論不但明確了需求的含義，而且奠定了需求決定的基礎。這樣的需求可以通過邊際方程加以確定，即對任何 ( p, r)??，都有： (?x?X ?)( (x?D( p, r)) ? (?? 0)((u?(x) = ? p)?( px = r)) ) 將會看到，如此決定的 需求集映 D : ??X 是上半連續(xù)的。進而在嚴格凸偏好下，一階條件決定了連續(xù)的需求函數(shù)。需求函數(shù)的可微性是通常分析需求規(guī)律時，必不可少的一個前提。 ? ? (一 ) 一階條件決定連續(xù)需求 ? 預算連續(xù)性 ： 設消費集合 是下有界非空閉凸子集，則預算集映 ? : ?? X 是連續(xù)的閉對應 。則需求 D: ? ? X 是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對應 。 需求是預算集合中最好的消費，需求的連續(xù)性以預算連續(xù)性為基礎。預算連續(xù)性通過預算集映 ? : ?? X 來表達。下面給出兩個應用事例。我們來分析一下移動通訊市場的需求情況。 p1：公司 A的話費 (元 /分種 )。 x1：消費者使用公司 A的網絡通話的時間 (分鐘 )。 r：消費者準備用于支付話費的收入。這樣，消費者的消費集合便為 。因此，消費者移動通訊消費方案的評價可以按照通話總時間多少來確定的： (?x, y?X)( ((x1, x2) ? ( y1, y2)) ? (x1+x2 ? y1+y2) ) 即消費者認為，移動通話的總時間越多越好。為此，對任何 ( p, r)??，可按照 p1 p p1 p p1 = p2 三種情形分別討論。 可見，在兩家公司提供的服務相同的情況下，話費價格低的公司完全占領市場。 r/p2 x1 r/p1 px = r D( p, r) (1) p1 p2的情形 (2) p1 p2的情形 (3) p1= p2的情形 ??? ??????????????? RRrppprpxXxppprppprrpD 221211212),( a l lf o r if},:{ if) } ,0,{( if) } ,0{(),(通話時間 越多越好 ? ( p, r) ? ( p, r) 通話時間 越多越好 通話時間 越多越好 D( p, r) D( p, r) x1 x1 x2 x2 x2 r/p2 r/p2 r/p1 r/p1 o o o ? ( p, r) r/p2 為此，任意給定收入 r 0和價格 ，選一個開球 V使得 。故 D( p, r)在 ( p?, r)處不是下半連續(xù)的。但它不是下半連續(xù)的，這一事實的證明思路是去證明在 p1 = p2 0 的地方 D( p, r)不下半連續(xù)。)( 2 ΦrpDVRV ?? ?? ??V Up p1 p2 D( p, r) ),( rpD ?w D(w, r) w1 w2 D( p, r)?V =? ? =V ?D(w, r) 價格空間 消費集合 0p0p1p2p例 2. 線性支出系統(tǒng) 消費者為了生存，需要保證每種商品的一個最低消費。當收入用于支付生活必需后還有剩余時，為了得到更大的滿足，需要進行更多的消費。下面，我們應用消費最優(yōu)化理論來分析這一問題。因此，消費者均衡必然在消費集合內部實現(xiàn)。 ???? ??? ??? )()()()( 21 2211 ???? xxxxv}:{ ???? xRxX ?)}()0(:),{() } ,()0(:),{( ?? prpRRrpprpRRrp ???????????????? ???其中 ? 1+? 2+? +?? = 1， ? i ? 0 (i = 1,2,? ,?)。用效用 函數(shù) u(x)寫出邊際方程 ： ，故 邊際方程為 。 第一步，采用與 v (x)等價 的效用函數(shù) w(x)： 其中 ? i =? i /(? 1+? 2 +? +??) (i = 1,2,? ,?)。上式說明 , 消費者把剩余收入 r ? p? 按照比例 ? i 用于增加商品 i 的消費量。這表明： 消費者在商品 i上的支出是各種商品的價格和收入的線性函數(shù) 。 (二 ) 二階條件決定可微需求 現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的 二階條件。這里， T(x)的定義如下： 根據(jù)微積分知識可知， u在該點 x o T(x) x u?(x)=? p ?(x) y z ??????rpxpxu )(}0)()(:{)( ????? xuxzRzxT ?處的海森矩陣 在 切空間 ?(x) 上半負定，即對任何 z??(x)，都有 ，其中切空間 ?(x)的定義為： 。 ? ? ???????? )()( xuxu hk0)()( 1, ?? ????? ?? kh khhkT zzxuzxuz)}(:{}0)(:{)( xTyxyxuzRzx ???????? ?1. 二階充分條件：效用函數(shù)強擬凹 二階必要條件并不充分，但若將其中的 “ 半負定 ” 改換成 “ 負定 ” ，則可得到效用最大化的 二階充分條件 ： ? 強擬凹性的定 義 設效用函數(shù) u(x) 二階可微。 (2) 稱 u 是 強擬凹 的效用函數(shù) ， 是指 u 在 X 內部各點處都強擬凹 。 這一事實的證明留作練習。 二階充分條件也叫做效用函數(shù)的強擬凹性，具體定義如下。則 u(x)強擬凹 當且僅當 u(x)在 X 內部嚴格擬凹并且對任何 x?X ?，加邊海森矩陣 H(u(x))都可逆。對任何 x?X ?，如果 u 在點 x 處強擬凹，則對任何實數(shù) ? ? 0，矩陣 H(u(x), ?) 都是可逆的。 r? px = 0” 唯一確定了需求映射 x = ?( p, r) 并且 ?( p, r) 連續(xù)，即需求函數(shù) 是邊際方程確定的隱函數(shù)。計算 J(x, ?)： 3. 需求函數(shù)的可微性 ? 可微性定理 在假設 HC、 HP和 HU下 ， 如果效用函數(shù) u 強擬凹，( p, r)??? 且 x = ?( p, r)?X ?，則需求映射 ? 在 ( p, r)附近連續(xù)可微。 ???????????????????????????????????????0)(1)(1)(0)(),(),(),(212211xuxuxuppxuxxxpxrpupupuxTT????????????JJ可見，只要 u強擬凹， J(x, ?)就可逆，從而有下面的可微性定理。 ??????????rxpxpxphpxu hh?????2211),2,1()( ?需求函數(shù)的可微性為我們 考察價格與收入變動對需求的影響提供了極大的方便，讓我們能夠細致地分析價格與收入哪怕發(fā)生了十分微小的變動，需求會有多大的變動。把 x = ? ( p, r)代入邊際方程，即得到恒等式： 其中 ? = ?( p, r) 為拉格朗日乘數(shù)。 這些變化 之間的關系可通過對邊際等式求微分加以確定： ? ?????? ????? ????rpxxphppxxuk kkkkhhk khkddd),2,1(ddd)(11?? ????寫成矩陣形式，即 ?????????pxrxpppxxu Tdddddd)( ??Txxxx )ddd(d 21 ???用 E 表示 ? 階單位方陣，則上式又可改寫成： ??????????????????????????????????? ??rpxExppxu Tdd10dd0)( ??此式稱為需求的 基本矩陣等式 或 基本矩陣方程 。因此， 基本矩陣方程左邊的矩陣為： 于是 ，從而 ，即 。 1. Slutsky’s Matrix ??????????????????????? ??0)(1)(1)(0)(xuxuxuppxuTT??效用函數(shù)擬凹性定理 2表明，這個矩陣是可逆的，故可以令 ZSZ ?? ?????????? ???????????????)(l e ta nd,0)( 1hkTTsp pxuz z??????????????????????? ???????????????????TTTTTzppxuzZppzxuppxuzzE?? )()(0)(100 ZZ1amp。 2. Slutsky’s Equation ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????rpxzrzpxzrpxzzxzrpxzzxzrpxEzzrpxEppxuxTTTTTTTTdd)(dd)(dddddd10dd100)(dd1??????????????SSZZ?????????rpzxrzpxzx TTdd)(ddd)(d????S 斯勒茨基 方程表明了價格與收入變動引起的需求變動情況： 此公式叫做 需求變動的 微分公式 。這種 純粹因收入變動而引起的需求量的變動 ，叫做收入效應 。這是為什么呢？其實，這種需求變動一方面來自于實際收入水平變化引起的收入效應，另一方面來商品替代而產生的替代效應。 在扣除收入效應 (即讓實際收入水平不變 )后 ， 這種純粹因商品之間的相互替代而引起的需求變動 ，叫做 替代效應 。 1. 微分公式揭示的收入效應 微分公式表達著價格與收入變動的總效應。當價格上升 dp時 , 消費支出增加 xdp，意味著實際收入減少 xdp，即實際收入增加了 ?xdp。 注意 , ?x /?r表示 收入增加一單位所引起的需求增加量 ，而