【正文】 運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)△CMN的面積． 【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標(biāo)為（5，－5）；（4）或5．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，利用對稱性即可寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可求面積；（3）利用三角形的面積以及點(diǎn)P所處象限的特點(diǎn)即可求；（4）分情況進(jìn)行討論，確定點(diǎn)M、N，然后三角形的面積公式即可求.試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y(tǒng)＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x．（2）∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．又C，B關(guān)于對稱軸對稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝23＝3．（3）存在點(diǎn)P．作PQ⊥BH于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋（m－1）（3＋m2－4m）＝33＋（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，－5）．（4）或5．提示：①當(dāng)以M為直角頂點(diǎn)，則S△CMN＝；②當(dāng)以N為直角頂點(diǎn)，S△CMN＝5；③當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積、直角三角形的判定等，能正確地根據(jù)題意確定圖形，分情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.9．對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)其自變量的值為m時(shí)，其函數(shù)值等于﹣m，則稱﹣m為這個(gè)函數(shù)的反向值．在函數(shù)存在反向值時(shí)，該函數(shù)的最大反向值與最小反向值之差n稱為這個(gè)函數(shù)的反向距離．特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)反向值時(shí)，其反向距離n為零．例如，圖中的函數(shù)有4，﹣1兩個(gè)反向值，其反向距離n等于5．（1）分別判斷函數(shù)y＝﹣x+1，y＝，y＝x2有沒有反向值？如果有，直接寫出其反向距離；（2）對于函數(shù)y＝x2﹣b2x，①若其反向距離為零，求b的值；②若﹣1≤b≤3，求其反向距離n的取值范圍；（3）若函數(shù)y＝請直接寫出這個(gè)函數(shù)的反向距離的所有可能值，并寫出相應(yīng)m的取值范圍．【答案】（1）y＝?有反向值，反向距離為2；y＝x2有反向值，反向距離是1；（2）①b＝177。1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝有反向值，反向距離為2，當(dāng)﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距離是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距離為零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝177?；颉螦PE=90176。時(shí)，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90176。∴只能有∠PAE=90176。①當(dāng)∠PAE=90176?！唷螾AG=∠APG=45176。時(shí)，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90176。設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=，∵DE⊥x軸，D（1，4），∴∠DEB=90176。,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)N, FN⊥BC．（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）①y=x2+2x（0＜x＜4)，②當(dāng)x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EF；（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問題．【詳解】（1）如圖，在AB上取AG=EC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，有∵AG=EC ，∴BG=BE ，又∵∠B=90176。又∵∠BCD=90176?！摺螧AE＋∠AEB=90176?！唷螧AE=∠FEC，在△AGE和△ECF中， ,∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF；(2)①∵由（1）證明可知當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)同理可證AE=EF，∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90176。FN，即y= x(4x），∴y= x2+2x（0＜x＜4)，②，當(dāng)x=2，y最大值=2.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．如圖①，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，已知的面積為6.(1)求的值；(2)求外接圓圓心的坐標(biāo)；(3)如圖②，P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為射線CA上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為d，的面積為，且，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)3；(2)坐標(biāo)(1，1)；(3)Q.【解析】【分析】（1）利用拋物線解析式得到A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式列出方程解出a；（2）利用第一問得到A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出AC解析式，找到AC垂直平分線的解析式，與AB垂直平分線解析式聯(lián)立，解出x、y即為圓心坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)P做PD⊥x軸，PD=d，發(fā)現(xiàn)△ABP與△QBP的面積相等，得到A、D兩點(diǎn)到PB得距離相等，可得，求出PB解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得到P點(diǎn)坐標(biāo)，又易證，得到BQ=AP=，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離列出方程，解出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】(1)解：由題意得由圖知： 所以A()，,=6∴ (2)由(1)得A()，,∴直線AC得解析式為：AC中點(diǎn)坐標(biāo)為∴AC的垂直平分線為：又∵AB的垂直平分線為： ∴ 得 外接圓圓心的坐標(biāo)(1，1).(3)解：過點(diǎn)P做PD⊥x軸由題意得：PD=d，∴ =2d∵的面積為∴，即A、D兩點(diǎn)到PB得距離相等∴設(shè)PB直線解析式為。∴∠OEF+∠HBD=90176。﹣（∠OEF+∠HBD）=180176。=9017