【正文】 (5)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(6)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N*)是公差為_(kāi)_________的等差數(shù)列． 基礎(chǔ)自測(cè)1．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a11的值為_(kāi)_________．11112．在數(shù)列{an}中，a1＝＝a10＝＋1an33．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝．(2012福建高考改編)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為_(kāi)_________．S1S5．(2012南京市高三第二次模擬考試)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若＝基礎(chǔ)自測(cè)1．7；2．－1 ；3．15 ； 4．2 ；：由S3＝3a2，S7＝7a4，由＝可得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，a3＝8d，a4＝9d，S73S17從而S6＝3(a3＋a4)＝317d，S7＝7a4＝63d，1思維拓展1．解決與等差數(shù)列有關(guān)問(wèn)題有哪些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想？提示：(1)函數(shù)思想：在等差數(shù)列中an＝dn＋c(d，c為常數(shù))，是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))，Sn＝2An＋Bn(A，B為常數(shù))是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)．(2)方程思想：準(zhǔn)確分析a1，d，an，Sn，n之間的關(guān)系，通過(guò)列方程(組)可做到“知三求二”．(3)整體思想：在應(yīng)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”時(shí)，要會(huì)用整體思想進(jìn)行代換．(4)類比思想：等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比，關(guān)注它們之間的異同有助于全面掌握數(shù)列知識(shí)，也有利于類比思想的推廣．2．如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？提示：(1)定義法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(3)通項(xiàng)是n的一次函數(shù)：an＝An＋B；(4)前n項(xiàng)和是n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0：Sn＝An2＋【探究突破一】等差數(shù)列的基本量的計(jì)算 【例1】 已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，bn＝an(1)求公差d的值；(2)若a1＝－2，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值． 51＋a解：(1)∵S4＝2S2＋4，Sn＝na1＋4(4－1)n(n－1)，∴4a＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得公差d＝1＋an57111(2)∵a1＝－，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－.∴bn＝＝1＋＝1＋.設(shè)f(x)＝1＋，22anan77n－x－227777－∞，246?！?46。2248。2232。22∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－{bn}中最大項(xiàng)為b4＝3，最小項(xiàng)為b3＝－1.【方法提煉】首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列{an}的基本量，只要確定了a1和d，數(shù)列{an}就能確定．因此，通過(guò)列方程(組)求得a1和d是解決等差數(shù)列{an}基本運(yùn)算的重要思想和方法．【針對(duì)訓(xùn)練1】設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}：在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d＞0，22236。236。a4＝a3a7，239。a1＝－3，∵237。解得237。239。a＝1，a＋2d＝1，d＝n(－3＋2n－5)2∴an＝－3＋(n－1)2＝2n－5，Sn＝n－故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．【探究突破二】等差數(shù)列的判斷與證明【例2】(2012陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)證一：對(duì)任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1236。9＝a1＋3d，239。得237。－6＝a1＋8d，239。238。d解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列前n項(xiàng)和為Sn＝na1＝n＋232。鎮(zhèn)江月考)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＝10，前5項(xiàng)和S5＝5，則其公差為_(kāi)_______．a(chǎn)－a5－1解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝＝4.(2013南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝S1解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，從而S6S7317＝3(a3＋a4)＝51d，S7＝7a4＝63d21{an}是公差d{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)． 2(1)求證：數(shù)列S是等差數(shù)列．(2)[解](1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－－1≠0，則Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由遞推關(guān)系知Sn≠0(n∈N*)，11236。11由①式得－2(n≥2)．∴237。n254。239。 21239。－2n(n－1)n≥2.*{an}滿足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和． {}1(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)＝0，解得a1＝＝2時(shí)，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．2(2)a2n＝4Sn－2an－1，①an＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②2②－①得：a2n＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an＋1＋an0，an＋1－an＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.第三篇：學(xué)案：等差數(shù)列及和等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一．高考考綱1．考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問(wèn)題．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等．2．考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用．掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法． 二．基礎(chǔ)知識(shí) 1．等差數(shù)列的定義