【正文】 （其原因?qū)⒃诘诙略敿毥榻B）。 在模擬系統(tǒng)的幾何形狀時，知識、經(jīng)驗、和工程判斷力是非常重要的，在很多情況下，一些幾何細節(jié)特征只是起著美觀的作用，面對于工程系統(tǒng)的性能影響確是可以忽略不計 的，那么我們就可以刪除、忽略、或簡化這些細節(jié)特征，雖然在某些情況下這樣做可能會導致不正確的結(jié)果，例如對于有些問題，一些細微的幾何改變可能得到完全不同的仿真結(jié)果。然后，在很多情況下，從 CAD 文件中直接讀入的復雜物體在劃分網(wǎng)格或離散之前可能還需要進行一些修改和簡化，值得提及的是，有些 CAD 軟件包已將模擬軟件合并在一起?，F(xiàn)在很多工程設(shè)計的計算機輔 助軟件（ CAD）軟件包可以生成工程設(shè)計系統(tǒng)所需的幾何模型文件。點、線、面、體都可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、或反射來生成新的點、線、面、體。 根據(jù)所采用的軟件，人們可以用很多種方法在計算機上生成適當?shù)膸缀涡螤畹挠邢拊W(wǎng)格。因此，為了決定所采用的最優(yōu)單位數(shù)量，通常采用折中的方法，人們 只在對于精度要求很高的區(qū)域，才對幾何形狀的細節(jié)進行精細模擬。但是，單元越多所需要的計算時間就會越長。幾何形狀的曲線（面）部分可以使用曲線或曲面模擬，然而，必須注意幾何模型最終要由單元集合所表示，所以，如果使用線性單元，曲線或曲面是用分片的直線或平面來近似。因此，一般來說用解析方法求解控制微分方程是很困難的，實際上許多問題都是實用數(shù)值的方法來求解，由于有限元法有很強的實用性和通用性，區(qū)域離散的有限元法在眾多的數(shù)值方法中是最受歡迎的。 使用有限元法進行計算機模擬 一個系統(tǒng)中某個現(xiàn)象的行為取決于該系統(tǒng)的幾 何形狀或區(qū)域范圍、材料或介質(zhì)的性質(zhì)、邊界、初始條件和加載情況。從概念上理解有限元法的研究方法是最重要的，因為有限元法應用于其他問題時利用了類似的概念。對工程 系統(tǒng)中很多物理現(xiàn)象人們已經(jīng)建立了相應的有限元法的數(shù)學模型。應用著名的商業(yè)軟件包 ABAQUS，求解和研究了一些算例，并闡述一些有效的建模技術(shù)和方法。然后，按照適當?shù)脑斫卧匠?，最后將這些單元方程組裝在一起，就可以導出整個系統(tǒng)的聯(lián)立線性代數(shù)方程組，求解整個方程組就能很容易地得到所要求解的場變量。圖 是一維空間有限元近似的示意圖，未知場變量的連續(xù)函數(shù)在每個子域用分段線性函數(shù)來近似，這些子域稱為單元，它們是由節(jié)點形成的。有限元法是一種數(shù)值解法，尋求對某些很難獲得解析結(jié)果的問題的場變量分布的近似解。 那什么是有限元法呢？有限元法首先應用于應力分析問題，隨后應用于熱分析、流體流動分析、壓電分析等許多其他 問題。我們將論述這個問題的計算方面，也如圖 中下劃線的部分，重點是物理、數(shù)學、和計算機建模的技術(shù)，以及計算機仿真的許多方面的問題。因此，一種高速、有效的模擬和仿真技術(shù)越來越顯示其重要的作用，從而導致有限元法的應用成倍增加。為確保最后產(chǎn)品的易加工性及較低的造價，在產(chǎn)品或系統(tǒng)制造之前需要做大量工作，其過程如圖 的所示。IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 1 IDEAS 軟件在 CAE 中的應用 班級 （ 學號 ） 姓名 1 計算機模擬 引言 在各種工程技術(shù)如建筑、運輸、交通等領(lǐng)域里，在先進工程系統(tǒng)的模擬和仿真中，有限元發(fā)（ FEM）已經(jīng)發(fā)展為當前主要的、不可缺少的一門技術(shù)。在建立這些先進工程系統(tǒng)時，工程師和設(shè)計師經(jīng)過一系列復雜工序：建模、仿真、可視化、分析、設(shè)計、制造樣機、測試，直到最后加工制造。從本質(zhì)上講，這個過程通常是一個重復的過程，即根據(jù)當前階段所獲得的結(jié)果重復 進行某些步驟，目的是在建立系統(tǒng)時，用最低的成本獲得最優(yōu)的性能。 本文主要討論的是模擬和仿真問題，即圖 中下劃線部分。充分理解這些技術(shù)對于快速和低成本的建立先進工程系統(tǒng)有著很重要的作用。在這些分析中，分析人員的主要目的是決定某些場變量的分布情況，如應力分析中的位移，熱分析中的溫度和熱流密度，電分析中的電荷等等。具體做法是將問題的整個區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，如圖 和圖 所示，這些小單元通常具有簡單的幾何形狀，然后將已知的物理規(guī)律應用于各個子區(qū)域。這樣一來，未知量就轉(zhuǎn)變成為場變量 在節(jié)點上的離散值。本文的目的是用一種簡明易懂的方式介紹有限元方程中所采用的各種概念、方法和原理。 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 2 工程中的物理問提 在一個特點的工程系統(tǒng)中，存在許多物理問題，正如前面所提到的，盡量有限元法最初是應用于應力分析，但是很多其他物理問題也能采用有限元法求解。采用標準有限元法萊求解的常見物理問題有： ?固體和結(jié)構(gòu)的力學問題 ?熱傳導 ?聲學 ?流體力學 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 3 ?其他 首先本文著重討論固體和結(jié)構(gòu)的力學問題中有限元方程的形成，因為有限元法最初就是用于求解這些問題的，然后討論了熱傳導問題有限元法。下節(jié)介紹使用有限元法進行計算機模擬所包括的主要步驟。對于一個工程系統(tǒng)，幾何形狀或區(qū)域通常是非常復雜的，而且邊界和初始條件也很復雜。 使用有限元法進行計算機模擬通常由下列四個步驟所組成： ?建模 ?劃分網(wǎng)格 ?給定材料性質(zhì) ?給定邊界條件、初始條件和載荷情況 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 4 幾何形狀的模擬 真實的結(jié)構(gòu)、構(gòu)件或區(qū)域一般都是很復雜的， 所以必須抽象出易于處理的幾何模型。圖 顯示了由三角形單元的直邊來表示曲線邊界，對于曲線部分的表示的精度是由所使用的單元的數(shù)量來控制的，顯然，單元的數(shù)量越多，用直邊表示的曲邊部分就越光滑和越精確。由于受到計算機硬件和軟件的限制，控制單元數(shù)量是很有必要的。當然，分析者在分析計算結(jié)果時必須考慮到這些幾何近似所帶來的影響。點可以通過簡單的鍵入坐標的方式生成，連接點或節(jié)點可以生成直線和曲線，連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)生成了的直線或曲線可以生成面，實體可以通過連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)存在的面來生成。 圖形界面通?？梢杂脕韼椭珊吞幚韼缀螌ο?。通常，軟件模擬包可以直接讀入這些文件，這樣在生成模型的幾何形狀時就可以大大節(jié)省時間。這種 CAD軟件包對于快速制造新產(chǎn)品的樣品有很重要的作用。 在對物理問題進行數(shù)學建模時豐富的知識和經(jīng)驗是重要的。因此，力學板的幾何形狀只是一個二維平面，對這個平面劃分網(wǎng)格可采用板單元，類似情況在殼體中也是存在的。 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 5 網(wǎng)格劃分 網(wǎng)格劃分就是將幾何形狀離散成稱之為單元或網(wǎng)格的小塊。因為工程問題的解是非常復雜的，并且通常在問題的整個域中函數(shù)的變化是不可預知的。這樣，所有單元的解就構(gòu)成了所求問題的整個區(qū)域的解。但在這之前，我們必須將所研究問題的區(qū)域生成網(wǎng)格。網(wǎng)格生成的目的在于將問題區(qū)域劃分成合適形狀的單元，如三角形單元和四邊形單元，在劃分網(wǎng)格時必須形成單元連接信息，作為以后組建有限元方程時使用。在一些商業(yè)應用軟件包里可以 得到半自動的處理器，還有一些專門為劃分網(wǎng)格而設(shè)計的軟件包，它們能夠生成網(wǎng)格文件，而其他模擬和仿真軟件包能夠讀入這種網(wǎng)格文件。三角形單元的另一個優(yōu)點就是模擬復雜幾何形狀及復雜邊界的靈活性，缺點就是三角形單元模擬結(jié)果的精度通常低于四邊形單元，但四邊形單元更難自動生成。 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 6 材料或介質(zhì)性質(zhì) 很多工程系統(tǒng)是由 不止一種材料構(gòu)成的，材料性質(zhì)可以針對一組單元來定義，必要時，也可對單個單元來定義。例如，對于固體和結(jié)構(gòu)中的應力分析，需要定義楊氏模量和剪切彈性模量，而對于熱分析就需要定義熱傳導系數(shù)，材料性質(zhì)常數(shù)通常可以直接輸入前處理器中，分析者需要做的是鍵入這些材料性質(zhì)數(shù)據(jù)并指定數(shù)據(jù)適用于幾何物體中的哪個區(qū)域或哪些單元。 邊界、初始條件和加載情況 邊界、初始條件和加載情況在求解時起了決定性的作用。同樣，準確模擬這些條件在實際工程系統(tǒng)中需要豐富的經(jīng)驗、知識和正確的工程判斷力。 仿真 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 7 離散系統(tǒng)方程 根據(jù)生產(chǎn)的網(wǎng)格，采用已有的方法可以得到離散系統(tǒng)的聯(lián)立方程組。工程實踐表明：對固體和結(jié)構(gòu)前兩種方法用的最多，而對流體流動模擬常常使用 其他兩種方法；而且，對于流體流動和熱傳導問題，也利用有限元法研制商業(yè)軟件，對固體和結(jié)構(gòu)也能用有限差分法，在這里我們不作詳細論述，順便指出所有者三種方法的數(shù)學基礎(chǔ)是加權(quán)殘值法，在加權(quán)殘值法中，適當選擇權(quán)函數(shù)就可以導出有限元發(fā)、有限差分法和有限體積法的方程。為了說明怎樣用加權(quán)殘值法推導有限元法的方程，我們使用了加權(quán)殘值法萊推導熱傳導問題的有限元方程，這為用有限元法處理其他物理問題提供了基本方法和關(guān)鍵步驟。由于所要模擬的物理現(xiàn)象不同，不同的軟件包所用的算法也不相同。 求解聯(lián)立方程組的方法有兩個主要類型：直接發(fā)和迭代法。直接法是對于整個組裝系統(tǒng)方程進行求解，因而需要較大的存儲空間，也可以用這樣一種方法編輯程序，即只對包含當前 階段所求解的方程的單元進行組裝，這樣可以大大地減少對存儲空間的要求。這些方法能有效的求解較大的系統(tǒng)方程。這些方法的收斂性通常取決于所求解的問題，在采用迭代法時，預處理對于加速收斂過程起了很重要的作用。對于與時間有關(guān)的問題，還需要一層時間步進運算，即首先 求初始時刻的解（或者分析者給定），然后使用該結(jié)果向前推進求解下一個時間的解，如此下去直到得到所要求的時間的解，有兩種主要的時間步進格式：隱式方法和顯示方法。 可視化 求解系統(tǒng)方程 后得到的結(jié)果通常是大量的數(shù)據(jù)，因此，這些結(jié)果必須直觀地顯示出來以便進行解釋、分析和報告說明。這些實體可以用邊框線、單元組和節(jié)點組的形式顯示在顯示器上。場變量可以用等勢線、條紋線、邊框線和變形線在物體中畫出。對模擬動力學方面的問題，還可以產(chǎn)生動畫和電影。本節(jié)的所有例題都給出了各種后處理結(jié)果。平臺可以是防護鏡、倒置的桌子、 甚至是在一個房間里，當物體隱沒入一個房間中時，分析者可以透過物體，到達準確位置觀察結(jié)果。 概況地說，本章簡要的介紹了計算機模擬與仿真的步驟，隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展，在有限元法中作為一種工具的計算機的使用已經(jīng)變成不可缺少的了。 IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 9 11模擬技術(shù) 11． 1 引言 本章 介紹使用有限元法過程中的各種模擬技術(shù)，很多材料取自于 NAFEMS(1986)。隨著計算機硬件和軟件的發(fā)展，現(xiàn)在可以很容易地進行有限元分析。而且，不正確的使用商業(yè)軟件包會導致錯誤的結(jié)果，這些錯誤結(jié)果通常隱藏在多彩的應力圖和其他后處理結(jié)果中而不為分析者所知。因此，本章的主要目的是進一步幫助讀者了解黑箱子，以使讀者在使用商業(yè)軟件包建立有限元模型時避免不必要的錯誤。例如，使用對稱模型模擬幾何對稱問題可以大大的減少模擬和計算的時間，同時甚至會有更精確的數(shù)值結(jié)果，因此，對一個好的分析者所要求的不僅僅是把問題的區(qū)域劃分成單元網(wǎng)格。靜態(tài)分析所需 CPU 時間可以使用下面簡單的關(guān)系粗略估計（稱為線性代數(shù)系統(tǒng)的復雜性）： 式中 ndof 是有限元方程組中自由度總數(shù)， α是在 到 范圍內(nèi)的常數(shù)，決定于有限元軟件包中使用的不同求解器和剛度矩陣的結(jié)構(gòu)等。帶寬愈小，α值愈小，因而計算愈快。因此，提出了通過對節(jié)點重新編號使帶寬最小的方法，大多數(shù)有限元包都按照了一個或多個這樣的工具。一種使節(jié)點編號差值最小，從而使帶寬最小的簡單方法可以在劉（ Liu,2021）的書中找到。在本章中論述的很多技術(shù)都與減少自由度有關(guān)，我們的目IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 11 標是：（ 1）采用盡可能低維的單元使自由度數(shù)最小來建立有限元模型；（ 2）必須在不降低結(jié)果精度的前提下盡可能地使用粗網(wǎng)格，只在重要區(qū)域使用精細網(wǎng)格。分析者首要考慮的問題是應該采用什么類型的單元：是三維單元？二維（二維實體，板和殼）單元？還是一維（桁架和梁）單元？這需要充分理解問題的力學意義。因此，對于復雜問題，充分利用問題域的幾何形狀特點，網(wǎng)格常常是不同類型單元的組合。通常，二維單元應用于具有像板和殼這樣幾何形狀的區(qū)域或部分，而一維單元應用于具有桿和弧形這樣的幾何形狀的區(qū)域或部分，三維單元只應用于結(jié)構(gòu)中體積比較大而不能應用一維和二維單元的部 分，這個分析過程是很重要的，因為使用一維和二維單元可以大大地減少自由度。對于使用二維單元的區(qū)域或部件，只需創(chuàng)建常常是幾何中面的中性面，對于使用一維單元的區(qū)域或部件，只需創(chuàng)建常常是幾何中心軸的中性軸。 在不同類型單元的交接面上需要使用合適的模擬方法來連接，這將在 節(jié)作詳細討論。表 列出了一些不同類型單元的節(jié)點自由度數(shù)。注意到很多結(jié)構(gòu)是使用計算機輔助設(shè)計IDEAS軟件在 CAE中的應用 (文獻翻譯 ) 12 （ CAD）軟件包設(shè)計的。有些科學工作者正在研究將三維幾何形狀自動地劃 分為適合于有限元網(wǎng)格的二維和一維幾何形狀，但目前尚不能得到這樣的商業(yè)軟件包。圖 顯示了一個有限元網(wǎng)格密度變化的例子，在這個例子的鏈輪 鏈條系統(tǒng)中，分析的重點是鏈輪和鏈條之間的接觸力。 在使用有限元軟件包時，常常使用所謂的種子網(wǎng)格點來控制網(wǎng)格密 度。 單元畸形 對于不規(guī)則幾何形狀，我們不可能使用全是規(guī)則形狀的單元，不規(guī)則或畸形單元在有限元法中是常被采用的，但有限制，平且在網(wǎng)格生成過程中必須控制單元畸形的程度，畸形是相對于單元基本形狀而量度的，即 ?正方形 → 四邊形單元 ?等邊三角形 → 三角形單元 ?立方體 → 六面體單元 ?等邊四面體 → 四面體單元 IDE