【正文】 有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。C；C；D；D；A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。唯一、唯一；a；2；24；mn；相等；商群；特征；；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）解 在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2 有ab, ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故ab, ab∈S1和ab, ab∈S2，因而ab, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：1tst=(1243)(56)解： 1．，s=(16524)；2．兩個都是偶置換。0206。m，因而R的任意元b=bm這就是說m=R，證畢。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a1。H都有ab206。G，n是a的階，若ak=e，則n|k.（），H是G的子群，則f(H)是G的子群.（）.（），H是G的子群，則GH=|G|.（）|H|.（）.（）二．選擇題(每小題3分,共15分)(G,*)中，（），*為加法； ，*為加法； ，*為加法； ，*，且G有左陪集分類{H,aH,bH,cH}.如果H的階為6，那么G 的階G=（）；；；={(1),(12),(13),(23),(123),(132),}，則S ；；3中與元(123)不能交換的元的個數(shù)是；，循環(huán)群有且只有兩種，分別是（）=（a）與G的子群；； ；，可逆元的個數(shù)是()。, a206。231。230。230。247。247。231。54321248。231564248。231。247。G，則aHa1也是子群，GH={gH|g206。n矩陣的集合Mn(F)．判斷題(每小題2分,共20分)110 √√√ √√√√ 二．選擇題(每小題3分,共15分)；；；；．填空題(每小題3分,共15分)； !；18.{nZ,nZ+1,L,nZ+(n1)}；；．計(jì)算下列各題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)：rs=231。123456246。546213247。 6s1=231。123456246。.LLLLLLLLLLLLLLLLLL8分：H的所有左陪集為H={(1),(123),(132)}，(LLL23)}LLLLLLLLLLLL4分(12)H={(12),(13),；H的所有右陪集為H={(1),(123),(132)}，H(12)={(12),(13),(23)}.對s206。H， 由題意，對任意1,ax,y206。y1aa，a從H而(axa)(ay111a)=axy11a206。n，對任意An180。Mn(F)，有An180。n)=0n180。n的負(fù)元是An180。 8分第二篇：近世代數(shù)課程總結(jié)近世代數(shù)基礎(chǔ)Ⅱ?qū)W習(xí)報(bào)告現(xiàn)代數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué),結(jié)構(gòu)反映事物構(gòu)成部分之間的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系,或幾種事物間的相互組成聯(lián)系。本門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是以集合理論為基礎(chǔ)而逐步展開的。這些抽象的理論往往會在實(shí)際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，用集合的思想去解決問題往往會提升效率。一般說來，群G是指對于某種運(yùn)算法則*滿足以下四個條件的集合：(1)封閉性：若a,b206。G使得a*b=c；(2)結(jié)合律成立：任意a,b,c206。G對任意a206。G，存在唯一確定的b206。若群G中元素個數(shù)有限，則G為有限群；否則稱為無限群。子群對于群G，若集合H206。小結(jié)在群論的研究中，我們需要關(guān)心的是個元素之間的運(yùn)算關(guān)系，即群的結(jié)構(gòu)，而不用去管某個元素的具體含義是什么。定義設(shè)R是一個非空集合，其上定義了兩種二元運(yùn)算，通常表示為加法+和乘法180。)是半群(3)乘法對加法滿足分配律則稱R為一個環(huán)。子環(huán)環(huán)R的一個非空子集S，若對于R的兩種運(yùn)算構(gòu)成一個環(huán)，則稱S為R的子環(huán)。0。 域域也是一種環(huán)，要求180。的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有180。 群的應(yīng)用群是刻畫事物對稱性的有效工具，比如圖形的對稱、函數(shù)的對稱等。它主要包含曲線論和曲面論。微分幾何有兩個十分重要的基礎(chǔ)：坐標(biāo)變換和求導(dǎo)的技巧。標(biāo)架標(biāo)架，這一概念在張量分析的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)涉及到。通常說的張量是不依賴于坐標(biāo)系的，而觀察者和標(biāo)架是等同的。坐標(biāo)系和標(biāo)架（或者觀察者）是不同的，同一個標(biāo)架下可以觀察到多個“坐標(biāo)系”。平面上的測地線就是直線； 測地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。旋轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線是測地線，球面上的大圓周是測地線。三 微分流形n 維流形就是一個Hausdorff 空間，它的每一點(diǎn)有開鄰域與n 維歐式空間的開集同胚。流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例?？臻g最最本質(zhì)的東西就是有關(guān)測度的概念。歐氏空間和黎曼空間的區(qū)別也在于此，有了測度的概念，任何空間的構(gòu)型就可以被決定，對空間的研究也就不再成問題。這就是光在宇宙中為什么沿著一條測地線前進(jìn)，而不是直線。236。239。交集239。集合237。239。并集239。239。239。238。239。236。239。239。滿射239。239。239。238。239。變換239。239。239。239。代數(shù)運(yùn)算239。239。等價(jià)關(guān)系與分類236。236。G,有ab=ba）239。237。239。非交換群（$a,b206。ba)239。239。236。239。無限群G—階G=165。238。239。239。子群239。239。正規(guī)子群 群237。陪集商群239。239。變換群——由一個非空集合的若干一一變換構(gòu)成的群239。三種重要群239。置換群——由n元有限集合的若干一一變換（置換）構(gòu)成的群239。循環(huán)群——每個元素都是某個元的冪239。239。同態(tài)239。239。同構(gòu)存在保運(yùn)算的一一映射238?？梢员硎境梢恍┎幌嘟坏淖?右)陪 的任何兩個左(右)陪集或者完全相同, |a|||G| , 則對任意的 ，.（不變）子群的判別條件N是群 的子群，則N是G的不變子群的充要條件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,。(2)(凱萊定理)：任一個有限群都同構(gòu)于一個置換群.(3)個元素的全體置換關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群.(4)每一置換可唯一表為若干個不相交輪換(循環(huán)置換)的乘積(5)每一循環(huán)置換都可以表為若干個對換的乘積.(6)每一置換都可表為若干個對換的乘積(7)設(shè) 為群, , 則|a|=|a1|（8）設(shè)（9）設(shè)（10）設(shè) 為群, 為群, ,ΙaΙ=n且 , 則., 如果 |a|=n,則|ar|=n/d(d=(r,n))