【正文】 中各個(gè)參數(shù)的設(shè)置原則： 慣性權(quán)重 w： 慣性權(quán)重是 粒子濾波算法 中非常重要的改進(jìn)參數(shù)， 慣性權(quán)重決定了粒子現(xiàn)在飛行的速度對(duì)前一時(shí)刻粒子飛行速度的繼承程度，慣性權(quán)重的更改可以用來平衡 粒子濾波算法 在整個(gè)優(yōu)化函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的搜索能力和對(duì)于某個(gè)局部區(qū)間內(nèi)的搜索能力。因此，慣性權(quán)重取恰當(dāng)?shù)闹担梢蕴岣咚惴ㄐ阅?，減少迭代次數(shù)，提高算法尋找最優(yōu)解的能力，減少程序運(yùn)行的時(shí)間。 w的取值范圍是 0到 1之間。一般來說取 15~30 個(gè)足夠，對(duì)于非常簡(jiǎn)單的優(yōu)化問題 8~10 個(gè)粒子就可以，比較復(fù)雜的函數(shù)則需要 50個(gè)以上的粒子。 粒子范圍：優(yōu)化問題的定義域。 學(xué)習(xí)因子，顧名思義，就是粒子的學(xué)習(xí)能力，粒子的學(xué)習(xí)能力包括粒子對(duì)于自己經(jīng)歷的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和整個(gè)種群中優(yōu)秀個(gè)體的學(xué)習(xí)能力 。在搜索的末期，粒子應(yīng)該避免陷入局部極值。 其他參數(shù)：粒子濾波算法 中參數(shù)較少，所以每個(gè)參數(shù)的設(shè)置對(duì)算法性能有較大的影響，種群大?。戳Ｗ訑?shù)目），最大迭代次數(shù)對(duì)于算法的影響也是非常大的，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 5 一般的，迭代次數(shù)和粒子數(shù)目都是和求得的解的精確程度是正相關(guān)的。如果對(duì)于多峰函數(shù)， 粒子濾波算法 還有 可能陷入局部最優(yōu)解。 粒子濾波算法 流程 如圖 是粒子濾波算法的流程圖： 圖 粒子濾波算法流程圖 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 6 基本粒子濾波算法的基本步驟如下： （ 1） 初始化種群中所有的 微粒所在位置和運(yùn)動(dòng)速度 ，賦兩個(gè)隨機(jī)值給這兩個(gè)量 ； （ 2） 計(jì)算全部粒子的適應(yīng)值，將所有粒子所經(jīng)過的所有位置的最優(yōu)解存儲(chǔ)于pbest 中，將所有 pbest 中的最優(yōu)解賦予 gbest。 輸出得到的結(jié)果 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法舉例 測(cè)試函數(shù)： 2 2 2122 2 212s i n ( ) 0 .50 .5 1 0 .0 1 ( )xxF xx???? ?? 通過 matlab 我們可以得到這個(gè)函數(shù)的圖象如圖 所示： 圖 函數(shù)圖像 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 7 該函數(shù)的極值是在（ 0,0）處， 我們?cè)谶\(yùn)行程序的時(shí)候得到 xm， fv， r 三個(gè)值，其中 r表示得到點(diǎn)到的最優(yōu)解的距離，我們把整個(gè)程序重復(fù)運(yùn)行 500 次，把得到的r 做成柱狀圖。但是，是不是 M 的值可以無限度的提高從而優(yōu)化算法的性能呢？下面我們將迭代次數(shù) M設(shè)置為 5000，然后將程序運(yùn)行 500 次，得到 r的分布圖如圖 ： 圖 M=5000 時(shí)得到的 r 的分布圖 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 9 我們可以看到 r 在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的取值變化并不大，也就是說增加迭代次數(shù)到5000 的時(shí)候算法的性能并沒有多大的提高，只是增加了程序運(yùn)行中的計(jì)算量。一般來說，各種優(yōu)化算法都是有各自的局限性。 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法 在算法的改進(jìn)這一節(jié)中有關(guān) r的柱狀圖中從左到右共 11 欄的意義分別是 ：0~1030,1030~1027,1027~1024,1024~1021,1021~1018,1018~1015,1015~1012,1012~109, 109~106,106~103,103~1。 這個(gè)函數(shù)用標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法，粒子數(shù)目 N=40，學(xué)習(xí)因子 c1=c2=2，慣性權(quán)重w=，迭代次數(shù) M=1000； 程序運(yùn)行 500 次得到的 r的分布柱狀圖是圖 ： 圖 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法程序運(yùn)行結(jié)果 我們計(jì)算得到的 500 個(gè) r的平均值是 。 粒子濾波算法的改進(jìn) 帶壓縮因子的粒子濾波算法 學(xué)習(xí)因子 c1 和 c2 反應(yīng)粒子群中微粒間信息的交流和共享 。 為了更好的控制粒子的飛行速度，使算法對(duì)于全局的搜索能力和對(duì)于局部的搜索能力達(dá)到更加平衡的效果 ， Clerc 構(gòu)造了帶壓縮因子的 粒子濾波算法，其速度公式更改為 ： 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 11 , , 1 1 , , 2 2 , ,( 1 ) { ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] }i j i j i j i j g j i jv t v t c r p x t c r p x t?? ? ? ? ? ? 1222 ,24 C c cC C C? ? ? ?? ? ? 為了使算法更好的求解， c1 與 c2的和要求大于 4。 線性遞減權(quán)重的粒子濾波算法 較大的慣性權(quán)重可以控制微粒進(jìn)行全局的大范圍的探索，而較小的慣性權(quán)重則使算法更加精細(xì)的搜索更小的范圍，使算法的結(jié)果更加收斂。 這樣粒子群更新速度和位移的公式還是 和 ，不過又加上了一個(gè) w更新的公式： m a x m i nm a xm a x* ( )t w t??? 。比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法精確的多，也比帶有壓縮因子的粒子濾波算法更加精確。 就這個(gè)函數(shù)而言，線性遞減權(quán)重粒子濾波算法得到的非常精確的最優(yōu)解，但是因?yàn)闄?quán)重的線性遞減 matlab 多計(jì)算了一次，所以這個(gè)算法所對(duì)應(yīng)的程序在 matlab安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 13 中運(yùn)行速度明顯比標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法慢。 在這個(gè) 粒子濾波算法 改進(jìn)方法中，目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的變化影響改變慣性權(quán)重的值，所以我們把他稱為自適應(yīng)權(quán)重法。 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 14 隨機(jī)權(quán)重法 將標(biāo)準(zhǔn) 粒子濾波算法 中的慣性權(quán)重設(shè)定為隨機(jī)數(shù)，而且隨機(jī)數(shù)是復(fù)合某種隨機(jī)分布的（例如高斯分布），這樣可以減輕一部分 w線性遞減的不足。另外，如果算法迭代初期得不到最優(yōu)解，并且 w是線性遞減的，那么算法就無法收斂到這個(gè)最好的點(diǎn)，而隨機(jī)生成的 w將會(huì)克服這種局限性。這個(gè)算法取 40 個(gè)粒子，學(xué)習(xí)因子 c1=c2 都取 2，慣性權(quán)重的平均值的最大值取 ，慣性權(quán)重的平均值的最小值取 ，隨機(jī)權(quán)重平均值方差取 ，每進(jìn)行一次算法要迭代 5000次，然后將程序運(yùn)行 1000次，得到 1000 個(gè) r， r的分布圖如 所示： 圖 隨機(jī)權(quán)重粒子濾波算法程序運(yùn)行結(jié)果 我們得到的 500 個(gè) r 的平均值是 ，從上圖中我們可以看出來，隨機(jī)權(quán)重法相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法也有了較大的改善，整個(gè)圖中 r 集中在安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 15 24 2110 ~10??區(qū)間內(nèi)，但是相比較前幾種改進(jìn)方法，隨機(jī)權(quán)重法還不算太精確，而且隨機(jī)權(quán)重法得到的 r 的分布也是比較分散的，說明對(duì)于測(cè)試函數(shù)來說，隨機(jī)權(quán)重法也不是一個(gè)非常穩(wěn)定的算法 同步變化學(xué)習(xí)因子法 這種改進(jìn)方法是把兩個(gè)學(xué)習(xí)因子設(shè)定在一個(gè)范圍 min max[ , ]cc ,當(dāng)算法進(jìn)行迭代到第 t次的時(shí)候， 兩個(gè) 學(xué)習(xí)因子的取值是： m a x m i n1 2 m a xm a x*ccc c c tt ?? ? ? 這樣學(xué)習(xí)因子就隨著迭代次數(shù)不斷的變化，這樣運(yùn)行程序之后得到的結(jié)果如圖 所示： 圖 同步學(xué)習(xí)因子的粒子濾波算法 從圖中我們可以看到大部分的 r 在 30 2710 ~10??區(qū)間內(nèi)，計(jì)算 500 個(gè) r的平均值是 ，對(duì)于這個(gè)函數(shù)來說，同步變化的學(xué)習(xí)因子粒子濾波算法也是一種非常好的改進(jìn)方法。這樣可以使得算法在一開始的時(shí)候粒子具有比較強(qiáng)的自我經(jīng)歷總結(jié)能力和較弱的群體經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)能力。也就是說算法在前期可以更好的探索全局，后期更精細(xì)的收斂到整個(gè)問 題的最優(yōu)解，學(xué)習(xí)因子的公式 ： 1 , 1 ,1 1 . m a x *fin iniini ccc c tt ???， 2 , 2 ,2 2 . m a x *fin iniini ccc c tt ??? 我們一般設(shè)定 c1 的初始值 1,inic =c2 的終值 2,finc =、 c2 的初始值 2,inic =c1 的終值 1,finc =， 慣性權(quán)重 w= 時(shí)，程序運(yùn)行 1000 次得到的 r 的分布圖：圖 圖 異步學(xué)習(xí)因子程序運(yùn)行結(jié)果 異步變化的學(xué)習(xí)因子粒子濾波算法是目前為止所有的 PSO改進(jìn)策略里比較好的一種，其對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法已經(jīng)有了較大的改善，得到的 r 絕大部分位于18 1510 ~10??區(qū)間內(nèi)，通過圖 我們可以看到 r 的分布是非常集中的。 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 17 二階粒子濾波算法 在標(biāo)準(zhǔn)的粒子濾波算法中，粒子當(dāng)前飛行速度是粒子所處位置的函數(shù)，而如果我們采用二階粒子濾波算法，粒子飛行速度的改變與微粒位置變化有關(guān)，粒子的速度變化公式是： , , 1 1 , , , 2 2 , , ,( 1 ) ( ) [ 2 ( ) ( 1 ) ] [ 2 ( ) ( 1 ) ]i j i j i j i j i j g j i j i jv t v t c r p x t x t c r p x t x t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根據(jù)算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟，把這個(gè)速度公式帶入算法步驟中，不過這個(gè)算法中c1+c2 的值最好在 2附近。所以說二階粒子濾波算法還不如普通的標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法。 二階振蕩粒子濾波算法 這是一個(gè)漸近收斂的算法，我們?yōu)榱诉M(jìn)一步提高粒子群的多樣性，現(xiàn)在在粒子群中引入一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)，用來改善算法全局收斂性。在算法前期取 111 1121crcr? ??， 222 2221crcr? ??，使得算法具有較強(qiáng)的整體搜索能力，算法后期取 111 1121crcr? ??， 222 2221crcr? ??，使得算法漸進(jìn)收斂。 （ 3） 如果當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù)小于最大的進(jìn)化代數(shù)的一半，根據(jù)下面的方差對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)化； , , 1 1 , 1 , 1 ,( t 1 ) w v ( t ) c [ p ( 1 ) x ( t ) x ( t 1 ) ]i j i j i j i j i jvr ??? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , 2 , 2 ,[ p (1 ) x ( t ) x ( t 1 ) ]g j i j i jcr ??? ? ? ? , , ,( t 1 ) x ( t ) v ( t 1 ) , j 1 , 2 . . . , di j i j i jx ? ? ? ? ? 其中1111121crcr? ?? ， 2222221crcr? ??； 如果當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)大于或者等于最大迭代次數(shù)的 1/2，根據(jù)下面的方程對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行進(jìn)化； , , 1 1 , 1 , 1 ,( t 1 ) w v ( t ) c [ p ( 1 ) x ( t ) x ( t 1 ) ]i j i j i j i j i jvr ??? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , 2 , 2 ,[ p (1 ) x ( t ) x ( t 1 ) ]g j i j i jcr ??? ? ? ? , , ,( t 1 ) x ( t ) v ( t 1 ) , j 1 , 2 . . . , di j i j i jx ? ? ? ? ? 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 19 其中1111121crcr? ??，2222221crcr? ??； （ 4） 將每個(gè)粒子的目前所在的適應(yīng)值與最優(yōu)解 pbest 進(jìn)行比較，將更好的值賦給最優(yōu)解 pbest； （ 5） 比較 pbest 和 gbest，將更優(yōu)的解賦給 gbest； （ 6） 若滿足停止條件，搜索終止，輸出結(jié)果，否則返回（ 3）繼續(xù)搜索 此算法運(yùn)行結(jié)果 r的分布如圖 ： 圖 二階振蕩粒子濾波算法程序運(yùn)行結(jié)果 從圖中得到的結(jié)果我們可以看到，加入振蕩之后，二階振蕩粒子濾波算法比二階粒子濾波算法好了很多，并且比粒子濾波算法更好。 r的平均值是 ，但是算法的運(yùn)算量顯著增大，程序運(yùn)行非常緩慢。粒子濾波算法 作為一個(gè)新的 求極值的 算法，有關(guān)它的研究還是處于初級(jí)階段。本文中只是就其中的一部分問題進(jìn)行了相關(guān)的研究，還有許多領(lǐng)域需要我們進(jìn)一步的研究和開拓。 % if x(1)==0 % x(1)=x(1)+1e09。 % end %F=(sin(10*x(1))*sin(10*x(2))/(100*x(1)*x(2))*cos(5*x(1))*cos(5*x(2)))。 %F=(sin(10*x(1)))/(10*x(1))*(sin(10*x(2)))/(10*x(2))。253。197。175。196。191。234。175。253。186。163。202。196。163。N %209。207。210。211。186。167。176。242。2163。c2 %185。208。200。214。163。w %238。243。252。206。253。186。202。226。196。172。253。186。168。205。199。208。246。180。170。253。169。191。234。175。253。161。208。214。181。212。228。191。181。186。191。234。175。253。196。208。214。163。fv format long。245。188。175。214。186。196。246。229。 %203。187。179。202。187。206。214。 v(i,j)=randn。230。245。188。175。217。200。200。198。227。247。246。163。181。202。211。182。163。178。179。202。187。Pi186。Pg for i=1:N p(i)=fitness(x(i,:))。 end 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 24 pg = x(N,:)。170。171。214。211。 for i=1:(N1) if fitness(x(i,:))fitness(pg) pg=x(i,:)。248。235。247。170。 187。163。176。213。185。202。210。180。181。180。 for t=1:M for i=1:N v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand*(y(i,:)x(i,:))+c2*rand*(pgx(i,:))。 if fitness(x(i,:))p(i) p(i)=fitness(x(i,:))。 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院本科畢業(yè)論文 25