(精華版)國家開放大學電大本科常微分方程管理案例分析網(wǎng)絡課形考網(wǎng)考作業(yè)及答案(合集)-在線瀏覽
2024-10-15 13:58本頁面
【正文】 ：方程的一切解在上有界．2．設在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．1．證明設y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0,則由于，所以對任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時有令，則于是得到又在[x0，x1]上y(x)有界設為M2，現(xiàn)取，則2．證明設是方程任一解，滿足，該解的表達式為取極限=四、應用題1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為,而物體在15分鐘內由冷卻到,．重為100kg的物體，在與水平面成30176。一、填空題不能與x軸相交．2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分條件．+ysinx=ex的任一解的存在區(qū)間必是(∞,+∞)．4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是開區(qū)間．5．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 XOY平面．6．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是XOY平面．7．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是XOY平面．8．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是，（或不含x軸的上半平面）．9．方程滿足解的存在惟一性定理條件的區(qū)域是全平面．10．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是開區(qū)間．二、計算題1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？（1）（2）1．解（1)因為及在整個平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,初值解存在且唯一.（2)因為及在整個平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,．．并求通過的一切解．因為方程在整個平面上連續(xù),除軸外,在整個平面上有界,其中,分別是:3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．（1）（2）3．解（1)因為在半平面上連續(xù),當時無界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無奇解.（2)因為在的區(qū)域上連續(xù),當時無界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是顯然是方程的解,由此可見對于軸上點存在通過該點的兩個解:及、證明題1．試證明：對于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．2．設在整個平面上連續(xù)有界，對有連續(xù)偏導數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義．3．設在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．4．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．5．假設方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解．求證：若6．設是方程的非零解，其中在上連續(xù)．求證：當時，必有．7．設在上連續(xù)可微，求證：對任意的，方程滿足初值條件的解必在上存在．8．證明：一階微分方程的任一解的存在區(qū)間必是．1．證明()的解,根據(jù)唯一性,．證明不妨設過點分別作直線和.,故在的某一右鄰域內,積分曲線位于之下,使得且,但由拉格郎日中值定理，,當時,時解曲線位于直線,當時,解曲線也位于直線,的存在區(qū)間為。一、填空題1．若A(x)在(∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間不能與x軸相交．2．方程組的任何一個解的圖象是n+維空間中的一條積分曲線．3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關的必要條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．4．線性齊次微分方程組，的一個基本解組的個數(shù)不能多于n+個．5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零．6．函數(shù)組的朗斯基行列式是．7．二階方程的等價方程組是．8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒有共同零點．9．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）．10．階線性齊次微分方程線性無關解的個數(shù)最多為N個．11．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．12．二階線性方程的基本解組是 ．13．線性方程的基本解組是．14．方程的所有解構成一個維線性空間．15．n階線性齊次微分方程的所有解構成一個n維線性空間．二、計算題1．將下列方程式化為一階方程組（1）（2）1．（1）解，（2）解2．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為特征方程為：det(AE)==，其特征根為.當時,，其中a,b滿足(AE)==0,則有a+b=0．取a=1,b=1,則得一特解同理,當時，所以方程組的解為（2）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為.當時,其中a,b滿足(AE)==0,故有即.取，于是方程組對應于=故特征根所對應的實解為=,=所以方程組的解為=3．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為當時,其中a,b滿足（=0,即第一個方程有令，則于是由解得通解=.（2）解系數(shù)陣為特征方程為:det(AE)==.特征根為.通解解為.4．求解下列方程組：（1）（2）4．解方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：det(AE)==.特征根為,方程組有如下形式的解:代入原方程組有消去得令,則令,則所以方程組的解為（2）解.其特征方程為：det(AE)==.特征根為當時，其中a,b滿足(AE)==0,則有ab=0取a=b=1,則得一特解同理,當時，所以對應齊次線性方
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