【正文】 。最近幾年，拍賣被用來出售政府資產(chǎn)，電信執(zhí)照以及電力市場的產(chǎn)品引起了人們的關(guān)注。不但出現(xiàn)了專業(yè)的拍賣網(wǎng)站，許多交易也采用拍賣的方式。早期的研究中關(guān)注的是各種拍賣形式的收益問題，逐漸轉(zhuǎn)移到討論最有效率的拍賣的問題：即拍賣的結(jié)果是對物品評價(jià)最高的竟價(jià)者獲得拍賣品。不但政府方面重視拍賣，隨著電子商務(wù)和網(wǎng)絡(luò)交易的發(fā)展，網(wǎng)上拍賣的日漸發(fā)展對理論也提出了要求。從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度來看，拍賣就是一組規(guī)則，決定拍賣的嬴家和所有參與者的支付，Myerson(1981)證明的一般最優(yōu)拍賣機(jī)制中參與者的數(shù)目就是固定的。但是在網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境中，參與拍賣的參加者是可以變化的，拍賣的參與者受瀏覽拍賣網(wǎng)頁的人數(shù)的影響，可以認(rèn)為這是一個(gè)隨機(jī)變量，因而在拍賣的設(shè)計(jì)時(shí)要考慮這個(gè)因素。假設(shè)你有一臺隨身聽，現(xiàn)在的潮流是聽各種款式的Mp3播放機(jī)，你也想加入潮流之中，但是你的現(xiàn)款不夠。你經(jīng)常上網(wǎng)，知道網(wǎng)上拍賣很流行，你就想把它拍賣掉。你開始拍賣時(shí)不知道會有多少人參加拍賣，但你知道上網(wǎng)的人中參與你的拍賣的人有一定的分布。這樣，就有兩種不同的規(guī)則可以結(jié)束拍賣，在這不同的規(guī)則下，最優(yōu)的拍賣應(yīng)當(dāng)是什么樣的形式？由于參與者到達(dá)是隨機(jī)的，你要在人數(shù)和時(shí)間之間進(jìn)行權(quán)衡。第一種規(guī)則是“定時(shí)規(guī)則”：規(guī)定拍賣開始和結(jié)束的時(shí)間，拍賣持續(xù)的時(shí)間是事前規(guī)定的，在拍賣進(jìn)行的時(shí)間內(nèi)，參與者服從泊松分布。在文章接下來的部分中，第二節(jié)模型的基本定義和假設(shè)。二、模型這里我們使用私人價(jià)值的框架，參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中型的，只拍賣一單位的物品。這樣，拍賣者的效用函數(shù)=，這里，其中表示“定時(shí)規(guī)則”，表示“定員規(guī)則”，不同的規(guī)則下有不同的參與者數(shù)目和拍賣結(jié)束時(shí)刻。這里，我們記拍賣開始的時(shí)刻為0，表示到時(shí)刻時(shí)買者的數(shù)目。下面我們定義拍賣的停止規(guī)則：“定時(shí)規(guī)則”是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示拍賣持續(xù)到時(shí)刻停止，拍賣者決定拍賣停止。（）我們可以看到，在“定時(shí)規(guī)則”下，拍賣持續(xù)的時(shí)間是固定的，但是參與者的數(shù)目是不確定的，根據(jù)泊松過程的性質(zhì)我們知道在有限的時(shí)間內(nèi)參與人數(shù)也是有限的；在“定員規(guī)則”下，參與者的數(shù)目是確定的但是拍賣持續(xù)的時(shí)間是不確定的。令表示拍賣結(jié)束時(shí)竟價(jià)者的集合。在“定時(shí)規(guī)則”下，是個(gè)隨機(jī)變量。對于每一個(gè)，參與者的私人評價(jià)為，貝努利函數(shù)。同時(shí)，我們假設(shè)是的單調(diào)增函數(shù)。對于每個(gè)，我們用表示其他參與者所有可能的類型組合。三、固定數(shù)目參與者的最優(yōu)機(jī)制根據(jù)顯示原理（revelationprinciple）(Myerson,1981)我們可以考慮直接顯示機(jī)制。這樣，一個(gè)機(jī)制就是組合。參與者的效用函數(shù)為=，由于參與是自愿的，任何可行的機(jī)制都要滿足參與者的參與約束：對，有（）在這個(gè)機(jī)制下我們這里考慮的拍賣人面對固定個(gè)數(shù)的買者，這里拍賣人面對的不確定性只是賣者評價(jià)的不確定性，拍賣人的收入為（）由于參與人對拍賣品的評價(jià)為私人信息，任何機(jī)制都必須使得參與者真實(shí)報(bào)告是一個(gè)Nash均衡,滿足激勵(lì)相容機(jī)制:對任意的，（）使用通常的技巧，充分的利用激勵(lì)相容約束我們可以得到下面的引理：引理1是可行機(jī)制當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件滿足：如果，那么有，、（），（）（）以及，和（）這個(gè)引理充分刻畫了可行機(jī)制的特征，這樣拍賣者的問題就是選擇滿足引理1的機(jī)制，來最大化他的預(yù)期收益（）。我們可以知道，由于是線性函數(shù)，因而時(shí)，拍賣人保留物品不予售出，僅當(dāng)時(shí)，0。由于我們假設(shè)是單調(diào)遞增的，對任給，最優(yōu)機(jī)制就是最大化同時(shí)滿足約束。為了得到參與者的支付函數(shù)，對任何關(guān)于其他人的估價(jià)的向量，我們定義，是參與者相對于的最小成功出價(jià)。推論1當(dāng)參與者數(shù)目固定時(shí)，最優(yōu)拍賣機(jī)制的結(jié)構(gòu)如下：參與者獲得成功的概率滿足：參與者的支付最優(yōu)機(jī)制滿足具有最高邊際評價(jià)的買者的到物品，他的支付是最小獲勝評價(jià)。四、“定員規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制這里和整篇文章一致，我們假設(shè)拍賣者有完全的承諾能力（fullmitment）,拍賣者對物品的評價(jià)是公共知識。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布是獨(dú)立的，因而拍賣人在拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)事固定的，因而在給定人數(shù)時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。這時(shí)，一個(gè)可行的拍賣機(jī)制就是一個(gè)三元組（，），其中滿足約束（），給定，（，）滿足引理1。從第二節(jié)我們知道=，由于評價(jià)和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立的對任意可行的機(jī)制，我們知道和是獨(dú)立的，因而對任一可行機(jī)制有：==（）這樣，拍賣者就可以在可行機(jī)制中進(jìn)行選擇最大化他的效用（）。第二步我們計(jì)算最優(yōu)的最大化導(dǎo)出的效用=，就可以得到最優(yōu)的停止人數(shù)。由于，不一定具有可微性，同時(shí)沒有明確參加者評價(jià)的分布函數(shù)時(shí)，不易得到一般的結(jié)論。簡單分析可以知道，時(shí)間偏好對機(jī)制的選擇有影響。六、“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制和“定員規(guī)則”不同，在“定時(shí)規(guī)則”下拍賣結(jié)束時(shí)拍賣參與人的數(shù)目時(shí)不確定的。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布時(shí)獨(dú)立的，同樣拍賣人在給定拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)固定時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。不同的結(jié)束時(shí)間對應(yīng)著結(jié)束時(shí)參與人數(shù)不同的概率分布。這里，與前邊的不同之處在于，拍賣者事前無法確定結(jié)束時(shí)刻買者的數(shù)目，于是它的可行的配置必須對每一個(gè)可能的參與者數(shù)目都給出規(guī)定。此時(shí)的可行機(jī)制由停止規(guī)則，物品分配概率向量和支付向量組成。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計(jì)算最優(yōu)機(jī)制得到最優(yōu)機(jī)制下的條件效用和條件最優(yōu)機(jī)制（，）,這里（，）滿足推論1。這樣我們就得到：引理4“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制是如下的三元組（，），滿足條件：（1）；（2）給定，對結(jié)束時(shí)刻的任意人數(shù),滿足推論1。我們甚至不能一般性的證明解的存在性。七、一個(gè)簡單的例子這里，我們假設(shè)買者是對稱的，他們的私人評價(jià)服從相同的分布，都是服從區(qū)間上的均勻分布。（i）在給定參與者人數(shù)為的時(shí)候，我們可以計(jì)算出拍賣者最優(yōu)的預(yù)期收益=，同時(shí)，我們可得到最優(yōu)的概率分配機(jī)制，()我們可以看到評價(jià)最高的參與者獲得了拍賣的勝利。這和通常的第二價(jià)格拍賣是一致的，可以通過第二價(jià)格拍賣來執(zhí)行最優(yōu)機(jī)制。首先，給定任一可行的停止規(guī)則，我們可以計(jì)算得到停止時(shí)的期望收益為=，這樣，在這種規(guī)則下。從這里我們可以看出，最優(yōu)停止人數(shù)的選擇受拍賣人的時(shí)間偏好和買者到達(dá)特征決定的。當(dāng)，有，拍賣人不存在時(shí)間偏好的時(shí)候，他會充分利用買者的特征，等待足夠多的買者，得到更大的效用。但是為了得到這一收益，拍賣者的平均等待時(shí)間要接近取窮大。拍賣者的效用函數(shù)===我們可以看到，簡化的效用函數(shù)是關(guān)于停止時(shí)刻的一個(gè)復(fù)雜的超越函數(shù)，我們沒有辦法得到關(guān)于最優(yōu)停止時(shí)間的解析解，但是如果知道具體參數(shù)的值，我們可以用數(shù)值解法來得到最優(yōu)的時(shí)刻。這一性質(zhì)是普遍成立的。八、結(jié)語拍賣理論仍然是一個(gè)具有廣泛發(fā)展前景的研究領(lǐng)域，仍然有許多為解決的問題需要討論同時(shí)隨著拍賣實(shí)踐的發(fā)展，也不斷的出現(xiàn)新的問題。沒有涉及的一個(gè)問題是這兩種規(guī)則是否等價(jià)：即給定一種規(guī)則下達(dá)到的效