【正文】 還包含另一個未知的時變增益 )(kb ，因此它實際上只是一個 )(ka 與 )(kb 的關系式。 最優(yōu)遞歸型 估計器對信號 )(kx 的均方估計誤差可寫成 ? ? ? ?)()()()1()()()()()( kykeEkbkxkeEkakxkeEkP ??????? ??? ? 由正交公式（ 37）式和（ 38）式可知，上式等號右側的后兩項為零，故 ? ?)()()( kxkeEkP ? (311) 由量測方程（ 22）式，我們可得 ? ?)()(1)( kvkyckx ??? 代入（ 311）式，因為信號 )(kx 與量測噪聲 )(kv 不相關，（ 1?k ）時刻的信號估計值 )1( ??kx 與 k 時刻的量測噪聲也不相關，故 ? 2)(1)(vkbckP ? (312) 我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 ? ? 2)()()()1()()1()1()( ?????? ???????? ? kvkcxkbkxkakwkaxEkP (313) 再利用 )(ka 與 )(kb 的關系式（ 310）式 ? ?)(1)( kcbaka ?? 因為 )1(?e 、 )1( ?kw 和 )(kv 互不相關，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 ? ? ? ? ?? 222222 )()(1)1()(1)( vw kbkcbkPkcbakp ?????? (314) 將（ 312）式代入（ 314）式，經整理后求解得 ? ?)1()1()(2222222??????kPacckPackbwvw?? ? (315) 此式即經過最優(yōu)化所得到的 )(kb 的表達式。 利用（ 310）式，我們可從（ 31）式中消去 )(ka ，得到 ?????? ????? ??? )1()()()1()( kxackykbkxakx (316) 由（ 316）式，可構成一個最優(yōu)遞歸型估計器 標量卡爾曼濾波器，其框圖如圖 31。由于信號數學模型中的動態(tài)噪聲的確切數值 )1( ?kw 無從得知，故對 )(kx的預估值只能取作 )1( ?? kxa 。 在 k 時刻的新測量樣值 )(ky 尚未得到之前，我們還可對 k 時刻的將要測得的新測量樣值 )(ky 進行預估。由于量測噪 聲 )(kv 的確切數值無從得知，故對的預估值只能取作 )1()1()( ???????? ?? ??? kxackxcky 當我們測得 k 時刻的新測量樣值 )(ky 后，若所測得的 )(ky 值與其預估值)1()( ?? ?? kxacky 之差不為零，就說明 k 時刻的新測量樣值 )(ky 中包含有前（ 1?k ）次測量中所沒有的新信息。因此，我們把 k 時刻的信號實測值 )(ky 與其預估值 )1()( ?? ?? kyacky 之差 )1()( ?? ? kyacky 稱為第k 次測量中的新信息?？梢姡?316）式等號右側的第二項 ?????? ?? ? )1()()( kxackykb 即為對信號預估值的修正項。 （ 36）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻 k 對信號 )(kx 的估計值 )(kx? ，即 ?????? ???????? )1()()()1()( kxackykbkxakx （ 315）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣 時刻 k 的時變?yōu)V波增益)(kb ，即 ? ? )1()1()(2222222??????kPacckPackbwvw?? ? （ 312）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻 k 的均方估計誤差)(kP ，即 )(1)( 2 kbckP v?? 為了便于將標量卡爾曼濾波器的遞推算法直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法： 濾 波估計方程 ?????? ????? ??? )1()()()1()( kxackykbkxakx (317) 濾 波增益方程 ? 212 1 )( )()( vkPc kcPkb ?? (318) 式中： ? 221 )1()( wkPakP ??? (319) 均 方濾波誤差方程 )()()()( 11 kPkcbkPkP ?? (320) 標量卡爾曼預測器 假設待測標量隨機信號的數學模型為一階自遞歸過程，即 )1()1()( ???? kwkaxkx 信號測量過程的數學模型為 )()()( kvkcxky ?? 線性遞歸型預測估計器可用如下的遞推方程來表述： )()()1|()()|1( kykkkxkkkx ?? ???? ?? (321) 為使（ 321）式表述的線性預估器成為一個最優(yōu)線性預測器，就必須依據最小均方誤差準則對（ 321）式中的時變預測增益 )(k? 和 )(k? 進行最優(yōu)化。 只要選定了初值，這一遞推過程就可以不斷的進行下去。 圖 32 標量卡爾曼預測器框圖 圖 32 所示的標量卡爾曼預測器的一套完整的遞推算法有（ 322）式、（ 323）式、（ 324）式組成。 經過改寫后得到卡爾曼預測器對此信號進行遞推預測的一套完整的遞推算法，公式如下： 預 測估計方程 ?????? ?????? ??? )1|()()()1|()|1( kkxckykkkxakkx ? (326) 預 測增益方程 ?? 22 )1|( )1|()( vkkPc kkac Pk ?? ?? (327) 均 方預測誤差方程 )(k? a c T )|1( kkx ?? )(ky + + + + + + ?? 22 )1|()()1|()|1( wkkPkackkPakkP ?????? (328) 向量卡爾曼濾波和預測 與標量情況類似，可用向量 )(kx? 表示 k 時刻對隨機信號向量 )(kx 的最優(yōu)線性濾波估計值，用向量 )|1( kkx ?? 表示在 k時刻對 )1( ?k 時刻的隨機信號向量)1(?kx 的最優(yōu)線性預測估計值?！白顑?yōu)”的含義，是指能使每個信號分量的均方估計誤差同時為最小。 在直接引用標量卡爾曼濾波或預測的遞推公式時，除了應把標量形式的信號、信號估計值和測量樣值表述成向量形式，把系統(tǒng)參數 a 和量測參數 c表述成 系統(tǒng)矩陣（或稱系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣） A 和量測矩陣 C，把均方估計誤差和有關噪聲和方差表述成相應的協方差矩陣外，還應根據表 31 將遞推公式中的標量運算變換成相應的矩陣運算 。 我們可以從標量卡爾曼濾波的遞推算法（ 317） ~（ 320）式直接得到向量卡爾曼濾波的遞推算法： 濾 波估計方程 ： ?????? ????? ??? )1()()()1()( kxCAkykKkxAkx (333） 濾 波增益方程 ： ? ? 111 )()()()( ??? kRCkCPCkPkK TT （ 334） 式中： )1()1()(1 ???? kQAkAPkP T （ 335） 濾 波協方差方程 ： )()()()( 11 kCPkKkPkP ?? （ 336） 和標量卡爾曼濾波器一樣，向量卡爾曼濾波器也是以預測加修正作為其遞推濾波的基本算法的。 在向量卡爾曼濾波的一整套遞推算法中，（ 333）式可構成向量卡爾曼濾波的主程序算法， 圖 33 給出了主程序算法的框圖。 第一步：在已知（ k1）時刻對信號向量 )1( ?kx 的估計值 )1(??kx 的條件下，用系統(tǒng)矩陣 A 乘以 )1(??kx ，得到在（ k1）時刻對 k 時刻信號向量 )(kx 的預測值 )1()1|( ??? ?? kxAkkx 。 ke )(39。 ?????? ?? kxCAkykkykyke ； 最后用濾波增益矩陣 )(kK 乘以 )(39。 kekK 。 kekK ， 得到信號的濾波估計值 )(kx? 。上述運算過程中所得到的 )(kx? 值 應存儲起來，以供下一次遞推時使用。在從（ k1）時刻到 k時刻這段時間內，只需把 )1(??kx 存儲起來。當然，如果系統(tǒng)矩陣和量測矩陣是時變的，就需把 )1,( ?kkA 和 )(kC 也存儲起來 。 從圖 34 中可以看出，向量卡爾曼濾波的子程序算法也分三步來進行。 第二步：將 )(1kP 、 )(kC 和 )(kR 代入（ 334）式，求出 )(kK ，供主程序調用。 圖 34 向量卡爾曼濾波的子程序算法框圖 由于濾波增益矩陣 )(kK 只與矩陣 )1,( ?kkA 、 )(kC 、 )1( ?kQ 和 )(kR 以及濾波協方差矩陣的初值 )0(P 無關，而與信 號的估計值和測量值無關，所以對)(kK 的計算可在對信號進行估計之前就由子程序來獨立完成。只要選定了濾波協方差矩陣的初值 )0(P ，子程序中的遞推運算即可反復進行下去，從而對 )(kP 和主程序所需調用的 )(kK 不斷進行更新。 最后把向量卡爾曼濾波的主程序算法和子程序合在一起，看看子程序中影響濾波增益 )(kK 的諸因數與 )(kK 在主程序中所起的作用。ke ，經調用 )(kK 加權后，作為對信號預測值的修正量；最后，將預測值和修正值相加，給出信號的濾波估計值 )(kx? 。 )(kK 大，意味著實際測量值在濾波估計中所起的作用大； )(kK 小，意味著外推預測值在濾波估計中所起的作用大。 從（ 334）式可知， )(kK 的大小與 )(kR 有關。這一結果的物理意義很明顯。此時，當然把 )(kK 取大一些，使信號的濾波估計值依賴實測值的比重加大。根據（ 335）式，若 )1( ?kP 變小，或 )1( ?kQ 變小，或兩者都變小，則 )(1kP 變小。這一結果的物理意義也不難理解。這一點，也可以從預測協方差 )(1kP 變小看出。 卡爾曼的線性化 卡爾曼濾波在測量領域的應用一般都存在線性化的問題。在靜態(tài)定位領域，由于觀測目標狀態(tài)不變，因而標稱狀態(tài)的誤差不會隨濾波過程增大，這兩種線性化方法都易于使用。廣義卡爾曼濾波按照系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu) 估計進行線性化，其線性化精度可以保證，但是其線性化是在本時刻預報的基礎上進行 的，即線性化時 必須確定定位點的動態(tài)模型，而在卡爾曼濾波的實 際應用中，如采用多模型的自適應濾波方法 動態(tài)模型改變，系統(tǒng)就必須重新線性化，不便進行數據處理。因此 ，本文提出了一種新的線性化方法，使用前一步最優(yōu)估計值進行線性化，將最小二乘和卡爾曼濾波的線性觀測方程統(tǒng)一，從而便于數據處理，也能保證精度，在空間狀態(tài)變化不大的情況下，線性化精度和廣義卡爾曼濾波類似。 在線性化時，卡爾曼濾波基本方程的式 (340)、式 (342)變化較小 ，較易寫出，本文主要針對線性化中的式 (338)、式 (339)、式 (341)進行討論。 按標稱狀態(tài)線性化后，式 (338)、式 (339)、式 (341)有如下形式： kkkkkk xx ,1,1 ???? ? ??? (344) TkkkT kkkkkkkk QPP ???? ??? ,1,1,1 ?? (345) )( ,111, kkkkkkkk xHZKxx ????????? ??? ???? (346) 式中， xhHxf ?????? /,/? 由于式 (344)中的 kkx,?? 是根據標稱的物理過程 給出的，如果實際物理過程和標稱物理過程相差過大，會導致