20xx高中數(shù)學(xué)人教a必修1第二章222-對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-在線瀏覽
2024-10-10 14:33本頁(yè)面
【正文】 的大小情況，進(jìn)行分組，再比較各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可．注意：對(duì)于含有參數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，要注意對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類(lèi)討論．【例8－1】比較下列各組中兩個(gè)值的大小．(1)，log32；(2)log23，；(3)logaπ，．分析：(1)構(gòu)造函數(shù)y＝log3x，利用其單調(diào)性比較；(2)分別比較與0的大??；(3)分類(lèi)討論底數(shù)的取值范圍．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f()＜f(2)．＜log32．(2)因?yàn)閘og23＞log21＝0，＜＝0，所以log23＞．(3)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＞；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＜．綜上所得，當(dāng)a＞1時(shí)，logaπ＞；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaπ＜．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，試比較，logba，logab的大?。治觯豪脤?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)行判斷．解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．∴＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．由于1＜＜b，∴0＜＜1．由logba－＝，∵a2＞b＞1，∴＞1．∴＞0，即logba＞．∴l(xiāng)ogab＞logba＞＞．9．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，有①logaf(x)＝logag(x)f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②當(dāng)a＞1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．(2)常見(jiàn)的對(duì)數(shù)不等式有三種類(lèi)型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．②形如logaf(x)＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)脫去對(duì)數(shù)符號(hào)，同時(shí)應(yīng)保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用換元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范圍．然后再解x的范圍．【例9－1】解下列不等式：(1)；(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．解：(1)由已知，得解得0＜x＜2．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)當(dāng)x＞1時(shí)，有解得1＜x＜3；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有解得0＜x＜．所以原不等式的解集是．【例9－2】若＜1，求a的取值范圍．解：∵＜1，∴－1＜＜1，即．(1)∵當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，∴．∴a＞，結(jié)合a＞1，可知a＞．(2)∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax為減函數(shù)，∴．∴a＜，結(jié)合0＜a＜1，知0＜a＜．∴a的取值范圍是．10．對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的討論(1)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時(shí)，則應(yīng)對(duì)底數(shù)a是否大于1進(jìn)行討論；二是運(yùn)用復(fù)合法來(lái)判斷其單調(diào)性；三是注意其定義域．(2)關(guān)于形如y＝logaf(x)一類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u＝f(x)(f(x)＞0)的單調(diào)性，當(dāng)a＞1時(shí)相同，當(dāng)0＜a＜1時(shí)相反．例如：求函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調(diào)區(qū)間．分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)y＝log2(3－2x)是由對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2u和一次函數(shù)u＝3－2x復(fù)合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時(shí)，應(yīng)從函數(shù)u＝3－2x的單調(diào)性、值域入手，并結(jié)合函數(shù)y＝log2u的單調(diào)性考慮．解：由3－2x＞0，解得函數(shù)y＝log2(3－2x)的定義域是．設(shè)u＝3－2x，x，∵u＝3－2x在上是減函數(shù)，且y＝log2u在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝log2(3－2x)在上是減函數(shù)．∴函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調(diào)減區(qū)間是．【例10－1】求函數(shù)y＝loga(a－ax)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)若a＞1，則函數(shù)y＝logat遞增，且函數(shù)t＝a－ax遞減．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＜1．∴函數(shù)y＝loga(a－ax)在(－∞，1)
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