20xx高中數(shù)學人教a必修1第二章222-對數(shù)函數(shù)及其性質-在線瀏覽
2024-10-10 14:33本頁面
【正文】 的大小情況，進行分組，再比較各組內的數(shù)值的大小即可．注意：對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較，要注意對底數(shù)是否大于1進行分類討論．【例8－1】比較下列各組中兩個值的大?。?1)，log32；(2)log23，；(3)logaπ，．分析：(1)構造函數(shù)y＝log3x，利用其單調性比較；(2)分別比較與0的大??；(3)分類討論底數(shù)的取值范圍．解：(1)因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f()＜f(2)．＜log32．(2)因為log23＞log21＝0，＜＝0，所以log23＞．(3)當a＞1時，函數(shù)y＝logax在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＞；當0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＜．綜上所得，當a＞1時，logaπ＞；當0＜a＜1時，logaπ＜．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，試比較，logba，logab的大?。治觯豪脤?shù)函數(shù)的單調性或圖象進行判斷．解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．∴＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．由于1＜＜b，∴0＜＜1．由logba－＝，∵a2＞b＞1，∴＞1．∴＞0，即logba＞．∴l(xiāng)ogab＞logba＞＞．9．利用對數(shù)函數(shù)的單調性解對數(shù)不等式(1)根據對數(shù)函數(shù)的單調性，當a＞0，且a≠1時，有①logaf(x)＝logag(x)f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②當a＞1時，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③當0＜a＜1時，logaf(x)＞logag(x)f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．(2)常見的對數(shù)不等式有三種類型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函數(shù)y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．②形如logaf(x)＞b的不等式，應將b化為以a為對數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助函數(shù)y＝logax的單調性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值，利用對數(shù)函數(shù)的單調性來脫去對數(shù)符號，同時應保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用換元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范圍．然后再解x的范圍．【例9－1】解下列不等式：(1)；(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．解：(1)由已知，得解得0＜x＜2．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)當x＞1時，有解得1＜x＜3；當0＜x＜1時，有解得0＜x＜．所以原不等式的解集是．【例9－2】若＜1，求a的取值范圍．解：∵＜1，∴－1＜＜1，即．(1)∵當a＞1時，y＝logax為增函數(shù)，∴．∴a＞，結合a＞1，可知a＞．(2)∵當0＜a＜1時，y＝logax為減函數(shù)，∴．∴a＜，結合0＜a＜1，知0＜a＜．∴a的取值范圍是．10．對數(shù)型函數(shù)單調性的討論(1)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性問題的關鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當?shù)讛?shù)未明確給出時，則應對底數(shù)a是否大于1進行討論；二是運用復合法來判斷其單調性；三是注意其定義域．(2)關于形如y＝logaf(x)一類函數(shù)的單調性，有以下結論：函數(shù)y＝logaf(x)的單調性與函數(shù)u＝f(x)(f(x)＞0)的單調性，當a＞1時相同，當0＜a＜1時相反．例如：求函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調區(qū)間．分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)y＝log2(3－2x)是由對數(shù)函數(shù)y＝log2u和一次函數(shù)u＝3－2x復合而成，求其單調區(qū)間或值域時，應從函數(shù)u＝3－2x的單調性、值域入手，并結合函數(shù)y＝log2u的單調性考慮．解：由3－2x＞0，解得函數(shù)y＝log2(3－2x)的定義域是．設u＝3－2x，x，∵u＝3－2x在上是減函數(shù)，且y＝log2u在(0，＋∞)上單調遞增，∴函數(shù)y＝log2(3－2x)在上是減函數(shù)．∴函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調減區(qū)間是．【例10－1】求函數(shù)y＝loga(a－ax)的單調區(qū)間．解：(1)若a＞1，則函數(shù)y＝logat遞增，且函數(shù)t＝a－ax遞減．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＜1．∴函數(shù)y＝loga(a－ax)在(－∞，1)
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