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20xx高中數(shù)學人教a必修1第二章222-對數(shù)函數(shù)及其性質-在線瀏覽

2024-10-10 14:33本頁面
  

【正文】 的大小情況,進行分組,再比較各組內的數(shù)值的大小即可.注意:對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較,要注意對底數(shù)是否大于1進行分類討論.【例8-1】比較下列各組中兩個值的大?。?1),log32;(2)log23,;(3)logaπ,.分析:(1)構造函數(shù)y=log3x,利用其單調性比較;(2)分別比較與0的大??;(3)分類討論底數(shù)的取值范圍.解:(1)因為函數(shù)y=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f()<f(2).<log32.(2)因為log23>log21=0,<=0,所以log23>.(3)當a>1時,函數(shù)y=logax在定義域上是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>;當0<a<1時,函數(shù)y=logax在定義域上是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<.綜上所得,當a>1時,logaπ>;當0<a<1時,logaπ<.【例8-2】若a2>b>a>1,試比較,logba,logab的大?。治觯豪脤?shù)函數(shù)的單調性或圖象進行判斷.解:∵b>a>1,∴0<<1.∴<0,logab>logaa=1,logb1<logba<logbb,即0<logba<1.由于1<<b,∴0<<1.由logba-=,∵a2>b>1,∴>1.∴>0,即logba>.∴l(xiāng)ogab>logba>>.9.利用對數(shù)函數(shù)的單調性解對數(shù)不等式(1)根據對數(shù)函數(shù)的單調性,當a>0,且a≠1時,有①logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)(f(x)>0,g(x)>0);②當a>1時,logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)(f(x)>0,g(x)>0);③當0<a<1時,logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)(f(x)>0,g(x)>0).(2)常見的對數(shù)不等式有三種類型:①形如logaf(x)>logag(x)的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論.②形如logaf(x)>b的不等式,應將b化為以a為對數(shù)的對數(shù)式的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調性求解.③形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值,利用對數(shù)函數(shù)的單調性來脫去對數(shù)符號,同時應保證真數(shù)大于零,取交集作為不等式的解集.④形如f(logax)>0的不等式,可用換元法(令t=logax),先解f(t)>0,得到t的取值范圍.然后再解x的范圍.【例9-1】解下列不等式:(1);(2)logx(2x+1)>logx(3-x).解:(1)由已知,得解得0<x<2.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)當x>1時,有解得1<x<3;當0<x<1時,有解得0<x<.所以原不等式的解集是.【例9-2】若<1,求a的取值范圍.解:∵<1,∴-1<<1,即.(1)∵當a>1時,y=logax為增函數(shù),∴.∴a>,結合a>1,可知a>.(2)∵當0<a<1時,y=logax為減函數(shù),∴.∴a<,結合0<a<1,知0<a<.∴a的取值范圍是.10.對數(shù)型函數(shù)單調性的討論(1)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性問題的關鍵:一是看底數(shù)是否大于1,當?shù)讛?shù)未明確給出時,則應對底數(shù)a是否大于1進行討論;二是運用復合法來判斷其單調性;三是注意其定義域.(2)關于形如y=logaf(x)一類函數(shù)的單調性,有以下結論:函數(shù)y=logaf(x)的單調性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調性,當a>1時相同,當0<a<1時相反.例如:求函數(shù)y=log2(3-2x)的單調區(qū)間.分析:首先確定函數(shù)的定義域,函數(shù)y=log2(3-2x)是由對數(shù)函數(shù)y=log2u和一次函數(shù)u=3-2x復合而成,求其單調區(qū)間或值域時,應從函數(shù)u=3-2x的單調性、值域入手,并結合函數(shù)y=log2u的單調性考慮.解:由3-2x>0,解得函數(shù)y=log2(3-2x)的定義域是.設u=3-2x,x,∵u=3-2x在上是減函數(shù),且y=log2u在(0,+∞)上單調遞增,∴函數(shù)y=log2(3-2x)在上是減函數(shù).∴函數(shù)y=log2(3-2x)的單調減區(qū)間是.【例10-1】求函數(shù)y=loga(a-ax)的單調區(qū)間.解:(1)若a>1,則函數(shù)y=logat遞增,且函數(shù)t=a-ax遞減.又∵a-ax>0,即ax<a,∴x<1.∴函數(shù)y=loga(a-ax)在(-∞,1)
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