【正文】 價格波動程度的估計(jì)求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。無風(fēng)險利率越高，看跌期權(quán)的價值越低；而看漲期權(quán)的價值則越高。 2023/3/8 （五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益 由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。 2023/3/8 我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下： X：期權(quán)的執(zhí)行價格； T：期權(quán)的到期時刻； t：現(xiàn)在的時刻； S：標(biāo)的資產(chǎn)在 t時的市場價格； ST：標(biāo)的資產(chǎn)在 T時的市場價格； C：美式看漲期權(quán)的價格； c：歐式看漲期權(quán)的價格； P：美式看跌期權(quán)的價格； p：歐式看跌期權(quán)的價格； r： t到 T期間的市場無風(fēng)險利率（連續(xù)復(fù)利）； 三、期權(quán)價格的上下限 :標(biāo)的股票價格的波動率，一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收 益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示。 （下同） SCSc ?? ,（ ） 2023/3/8 2,看跌期權(quán)價格的上限 美式看跌期權(quán)價格（ P） 的上限為 X： 其中， r代表 T時刻到期的無風(fēng)險利率， t代表現(xiàn)在時刻。 )0,ma x( )( tTrXeSc ????（ ） 2023/3/8 例題 考慮一個不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時股票價格為 20元，執(zhí)行價格為 18元，期權(quán)價格為 3元，距離到期日還有 1年，無風(fēng)險年利率10%。 )( tTrXe ??組合 D： 金額為 的現(xiàn)金 2023/3/8 由于組合 C的價值在 T時刻大于等于組合 D， 因此組合 C的價值在 t時刻也應(yīng)大于等于組合 D， 即： )( tTrXeSp ???? SXe tTr ?? ?? )( 由于期權(quán)價值一定為正 ， 因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為： )0,ma x( )( SXep tTr ?? ??（ ） 2023/3/8 （ 2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 )0,max ( )( SXeDp tTr ??? ??（ ） )( tTrXeD ??? 我們只要將上述組合 D的現(xiàn)金改為 就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為： 2023/3/8 四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 （一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1, 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 一般來說 ，只有當(dāng) S相對于 X來說較低 ， 或者 r較高時 ， 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的 。 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為： ]0,ma x[ )( tTrXeDScC ??????2023/3/8 2,看跌期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式 看跌 期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán) ， 因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小 ， 但還不能排除提前執(zhí)行的可能性 。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價格之間，就存在無風(fēng)險的套利機(jī)會，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價格關(guān)系拉回到正常水平。 五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 2023/3/8 （一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1，無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) ? 考慮如下兩個組合： 組合 B： 一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) )( tTrXe ??組合 A： 一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金 2023/3/8 在期權(quán)到期時 ， 兩個組合的價值均為 max(ST,X)。 如果式（ ）不成立，則存在無風(fēng)險套利機(jī)會。 SpXec tTr ??? ?? )(（ ） 2023/3/8 套利機(jī)會 市場情況 ：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價，股票市場價格為 31美元， 3個月期無風(fēng)險年利率為 10％，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是 30美元， 3個月后到期。 策略 ： 1，購買看漲期權(quán)； 2，出售看跌期權(quán)； 3，賣空一股股票。將這筆資金按無風(fēng)險利率投資 3個月， 3個月末本息和為 *=。即按照 30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝ － 30＝ 。即按照 30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝ － 30＝ 。問是否有套利的機(jī)會？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。 這種資產(chǎn)可以被自由買賣； (2) 期權(quán)是歐式看漲期權(quán) ， 在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付 。 (6) 存在著一個固定的 、 無風(fēng)險的利率 ， 投資者可以以此利率無限制地借入或貸出； (7) 期權(quán)的標(biāo)的股票的價格遵循幾何布朗運(yùn)動，呈對數(shù)正態(tài)分布。 rfS fSS frStf ????????? 222221 ?2023/3/8 （ 二 ） BlackScholes歐式看漲期權(quán)定價公式 )()d( 2)(1 dNXeSNc tTr ????tTdtTtTrXSdtTtTrXSd??????????????????12221))(2/()/ln())(2/()/ln(2023/3/8 由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權(quán)的價格。即 S=42， X＝ 40， , ???? tTr ?)2/()40/42ln()2/()40/42ln(2221??????????dd2023/3/8 并且 )( ?? ???? eXe tTr因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價格為： )627 ()769 (42)()d( 2)(1NNdNXeSNc tTr???? ??又因?yàn)? N（ ）＝ ， N（ ） = 所以 c= 2023/3/8 二、波動率的確定方法 例 假設(shè)一只股票當(dāng)前的價格為 30元， 6個月期國債的年利率為 3％，一投資者購買一份執(zhí)行價格為 35元的6個月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在 6個月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。 ? 假設(shè)在過去 n周里的第 t周股票收盤價為 St， 第 t1周的收盤價為 St－ 1， 則第 t周的股票復(fù)利收益率為 )/ln( 1?? ttt SSr那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算 ? ? ??? nt n rrn n t1 )(1 2 其中： 表示這 n周里的股票收益率的均值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動率為 。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計(jì)算隱含波動率，然后利用計(jì)算出的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價格。 2023/3/8 投資者可以通過對比當(dāng)前市場的波動率與期權(quán)的隱含波動率的大小來進(jìn)行期權(quán)交易。反之可以賣出期權(quán)。 2023/3/8 1，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時刻 產(chǎn)生已知現(xiàn)值為 I的收益，且 。其中后一部分是有風(fēng)險的，記為 于是我們可以直接利用（ ）式來定價了，只要用來代替 S即可， 1t 1t t T??1tY S I?? () r( T t)12c S I N( d ) Ke N( d )??21 2 1l n( ( ) / K ) ( / 2) ( )S I r T td d d T tTt? ??? ? ? ?? ? ? ?? ，2023/3/8