【正文】 確定． 【專題】 點(diǎn)列、遞歸 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行化簡結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列 { }是等差數(shù)列； （ Ⅱ ）求出 Sn的通項(xiàng)公式，利用放縮法進(jìn)行證明不等式． 【解答】 解：（ Ⅰ ）當(dāng) n≥2 時(shí)， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= ， … 即 Sn﹣ 1﹣ Sn=2SnSn﹣ 1， 則 ﹣ ， … 從而 { }構(gòu)成以 1為首項(xiàng)， 2為公差的等差數(shù)列． … （ Ⅱ ） ∵{ }構(gòu)成以 1為首項(xiàng)， 2為公差的等差數(shù)列， ∴ =1+2（ n﹣ 1） =2n﹣ 1，即 Sn= ， ∴ 當(dāng) n≥2 時(shí)， Sn= = = （ ﹣ ）． … 從而 S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ 1+ （ 1 ﹣ ）＜ ﹣ ． … 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查數(shù)列求和以及，等差數(shù)列的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義是解 決本題的關(guān)鍵． 18．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD中，底面 ABCD是菱形， ∠DAB=60176。 2020 年吉林省長春市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 一、選擇題（本大題包括 12 小題，每小題 5分，共 60 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上） . 1．已知集合 A={x|﹣ 1≤x≤1} ， B={x|x2﹣ 2x≤0} ，則 A∩B= （ ） A． [﹣ 1， 0] B． [﹣ 1， 2] C． [0， 1] D．（﹣ ∞ ， 1]∪[2 ， +∞ ） 2．設(shè)復(fù)數(shù) z=1+i（ i是虛數(shù)單位），則 =（ ） A． 1﹣ i B． 1+i C．﹣ 1﹣ i D．﹣ 1+i 3．已知 | |=1， | |= ，且 ⊥ （ ﹣ ），則向量 與向量 的夾角為 （ ） A． B． C． D． 4．已知 △ABC 中，內(nèi)角 A， B， C的對(duì)邊分別為 a， b， c，若 a2=b2+c2﹣ bc， bc=4，則 △ABC的面積為（ ） A． B． 1 C． D． 2 5．已知 a∈ {﹣ 2， 0， 1， 3， 4}， b∈ {1， 2}，則函數(shù) f（ x） =（ a2﹣ 2） x+b為增函數(shù)的概率是（ ） A． B． C． D． 6．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸出的 S為 ，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是（ ） A． n=6 B． n＜ 6 C． n≤6 D． n≤8 7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A． B． 64 C． D． 8．在平面直角坐標(biāo)系中，若 P（ x， y）滿足 ，則 x+2y的最大值是（ ） A． 2 B． 8 C． 14 D． 16 9．已知直線 y=2 （ x﹣ 1）與拋物線 C： y2=4x交于 A， B兩點(diǎn)，點(diǎn) M（﹣ 1， m），若 ?=0，則 m=（ ） A． B． C． D． 0 10．對(duì)定義在 [0， 1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù) f（ x）稱為 M函數(shù)： （ i） 對(duì)任意的 x∈ [0， 1]，恒有 f（ x） ≥0 ； （ ii） 當(dāng) x1≥0 ， x2≥0 ， x1+x2≤1 時(shí)，總有 f（ x1+x2） ≥f （ x1） +f（ x2）成立． 則下列四個(gè)函數(shù)中不是 M函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） ①f （ x） =x2②f （ x） =x2+1 ③f （ x） =ln（ x2+1） ④f （ x） =2x﹣ 1． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 11．已知雙曲線 =1（ a＞ 0， b＞ 0）與函數(shù) y= 的圖象交于點(diǎn) P，若函數(shù) y= 的圖象在點(diǎn) P處的切線過雙曲線左焦點(diǎn) F（﹣ 1， 0），則雙曲線的離心率是（ ） A． B． C． D． 12．若對(duì) ? x， y∈ [0， +∞ ），不等式 4ax≤e x+y﹣ 2+ex﹣ y﹣ 2+2恒成立，則實(shí)數(shù) a的最大值是（ ） A． B． 1 C． 2 D． 二、填空題（本大題包括 4小題，每小題 5分，共 20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上） . 13．函數(shù) y= 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 14．（ x﹣ ） 6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ． 15．已知定義在 R上的偶函數(shù) f（ x）在 [0， +∞ ）單調(diào)遞增，且 f（ 1） =0，則不等式 f（ x﹣ 2） ≥0 的解集是 ． 16．底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．已知同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球．已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長為 a，球的半徑為 R．設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為 α 、 β ，則 tan（ α+β ）的值是 ． 三、解答題（本大題包括 6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） . 17．已知 {an}中， a1=1，其前 n項(xiàng)和為 Sn，且滿足 an= ． （ Ⅰ ）求證：數(shù)列 { }是等差數(shù)列； （ Ⅱ ）證明： S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ ． 18．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD中 ，底面 ABCD是菱形， ∠DAB=60176。 ， PD⊥ 平面 ABCD， PD=AD=1，點(diǎn) E， F分別為 AB和 PD中點(diǎn)． （ Ⅰ ）求證：直線 AF∥ 平面 PEC； （ Ⅱ ）求 PC與平面 PAB所成角的正弦值． 19．某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有 5名編號(hào)為 1， 2， 3， 4， 5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投 10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表： 學(xué)生 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 （ 1）從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個(gè)班哪個(gè)班成績更穩(wěn)定（用數(shù)字特征 說明）； （ 2）若把上表數(shù)據(jù)作為學(xué)生投籃命中率，規(guī)定兩個(gè)班級(jí)的 1號(hào)和 2號(hào)同學(xué)分別代表自己的班級(jí)參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個(gè)班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作 X和 Y，試求 X和 Y的分布列和數(shù)學(xué)期望． 20．已知橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的上頂點(diǎn)為（ 0， 1），且離心率為 ． （ Ⅰ ）求橢圓 C的方程； （ Ⅱ ）證明：過橢圓 C1： + =1（ m＞ n＞ 0）上一點(diǎn) Q（ x0， y0）的切線方程為 +=1； （ Ⅲ ）過圓 x2+y2=16上一點(diǎn) P向橢圓 C引兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，當(dāng)直線 AB分別與 x軸、 y軸交于 M， N兩點(diǎn)時(shí)，求 |MN|的最小值． 21．定義在 R上的函數(shù) f（ x）滿足 ，． （ 1）求函數(shù) f（ x）的解析式； （ 2）求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）如果 s、 t、 r滿足 |s﹣ r|≤|t ﹣ r|，那么稱 s比 t更靠近 r．當(dāng) a≥2 且 x≥1 時(shí)，試比較 和 ex﹣ 1+a哪個(gè)更靠近 lnx，并說明理由． 請(qǐng)考生在 22， 23， 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .作答時(shí)，用 2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑 .【選修 41：幾何證明選講】 22．如圖所示， AB為圓 O的直徑， CB， CD為圓 O的切線， B， D為切點(diǎn)． （ 1）求證： AD∥OC ； （ 2）若圓 O的半徑為 2，求 AD?OC的值． 【選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 23．在直角坐標(biāo)系 xOy中，圓 C的參數(shù)方程為 （ θ 為參數(shù)）． （ 1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、 x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓 C的極坐標(biāo)方程； （ 2）已知 A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 2），圓