湖南省長沙市20xx屆高三12月聯(lián)考數(shù)學理試題word版含答案-在線瀏覽
2025-01-18 05:43本頁面
【正文】 設點 B 到平面 MAC 的距離是 h ， 13B M A C M A CV S h????， 則 ABC M ACS M N S h??? ? ?，解得 22h? ． ……10 分 在 Rt BMN? 中，可得 27BM? ． 設 BM 與平面 MAC 所成的角為 ? ，則 26sin 9hBM? ??． ……12 分 法二 ：（作圖法） 過點 M 作 MN AD? 于 N ，則 //MN PA ，則 MN? 平面 ABCD ． 過點 M 作 MG AC? 于 G ，連接 NG ，則 MGN? 是二面角 M AC D??的平面角． 若 45MGN??，則 NG MN? ，又 22A N NG M N??，易求得 1MN? ． 即 M 是線段 PD 的中點． ……8 分 （以下同解法一） 法三：（向量計算法） 建立如圖所示空間直角坐標系．則 (0,0,0)A ， (2 2, 2 2,0)C ， (0,2 2,0)D ，(0,0,2)P ， (2 2, 2,0)B ? ， (0, 2 2 , 2)PD ??． 設 PM tPD? （ 01t?? ），則 M 的坐標為 (0, 2 2 , 2 2 )tt? ． ……6 分 設 ( , , )n x y z? 是平面 AMC 的一個法向量，則 00n ACn AM? ????????，得 2 2 2 2 02 2 ( 2 2 ) 0xyty t z? ????? ? ???，則可取 2(1, 1, )1 tn t??? ． ……8 分 又 (0,0,1)m? 是平面 ACD 的一個法向量， 所以22|||| 1| c o s , | c o s 4 5| || | 22 ( )1tmn tmnmn tt? ?? ? ? ? ?? ? 解得 12t? ．即點 M 是線段 PD 的中點． ……10 分 此時平面 AMC 的一個法向量可取 (1, 1, 2)n ?? ， ( 2 2 , 3 2 ,1)BM ?? ． BM 與平面 MAC 所成的角為 ? ，則 26s in | c o s , | 9n B M? ? ? ? ?． ……12 分 20．命 題依據(jù)：橢圓的方程、軌跡的求解，解析幾何中的定值問題，運算能力。 【分析】（ I）由題意易得； （ II ）此題本質(zhì)利用對于橢圓上一點有 22AP BP bkk a? ?? ?這一結論，得到22OM ON bkk a? ??，再 利用直線 MN 與橢圓的位置關系，建立 MON? 的表達，雖然直線 MN的位置不確定，由于 22OM ON bkk a? ??，則其斜率與在 y 軸上的截距必定滿足方程關系，代入 MON? 的面積表達式則可求得 MON? 的面積． 【解答】 （ I）由已知設點 P 的坐標為 (, )xy ，由題意知 2 ( 3 )333A P B P yyk k xxx? ? ? ? ? ? ???， 化簡得 P 的軌跡方程為 22 1( 3 )32xy x? ? ? ?．?? 5 分 （ II）由題意 M 、 N 是橢圓 C 上非 頂點的兩點，且 //AP OM ， //BP ON ，則直線 AP ，BP 斜率必存在且不為 0 ． 又由已知 23AP BPkk? ??． 因為 //AP OM ， //BP ON ，所以 23OM ONkk? ??．?? 6 分 設直線 MN 的方程為 x my t??，代入橢圓方程 22132xy??，得 2 2 2( 3 2 ) 4 2 6 0m y m ty t? ? ? ? ?， …… ① ?? 7 分 設 M 、 N 的坐標分別為 11( , )xy ， 22( , )xy ，則 1y 、 2y 是方程 ① 的兩根， 則12 2432mtyy m? ? ? ?， 212 22632tyy m?? ?．?? 8 分 又 21 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 26( ) 3 6O M O N y y y y tkk x x m y y m t y y t t m?? ? ? ?? ? ? ?，?? 9 分 所以 2222 6 23 6 3ttm? ???，得 222 2 3tm??．?? 10 分 又 2212 21 1 | | 2 4 4 8 7 2| || |2 2 3 2M O N t t mS t y y m? ? ? ?? ? ? ? 所以 222 6 | | 642M O N ttS t? ??，即 MON? 的面積為定值 62 ．?? 12 分 21．命題依據(jù)：導數(shù)的應用，三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的應用，分類討論的數(shù)學思想． 【分析】 【解答】 由已知得3331 , ( )1 3( ) | |13 , ( )3x x a x af x x x ax x a x a? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ???， ?? 1 分 令 31()3g x x x a? ? ?，則 2( ) 1 0g x x? ? ? ?，所以 ()gx 在 [ , )a?? 上必為增函數(shù)； ?? 2 分 令 31()3h x x x a? ? ?，則 2( ) 1h x x? ??． 令 ( ) 0hx? ? ，得 1x?? ，所以 ()hx 在 ( , 1)??? 和 (1, )?? 上是增函數(shù) ，在 ( 1,1)? 上為減函數(shù)．?? 3 分 （ I）因為 ()fx在 R 上是增函數(shù)，所以 ()hx 在 ( , )a?? 為增函數(shù)，所以 1a?? ．?? 4分 （ II）因為函數(shù) ()fx在 R 上不單調(diào)，所以 1a?? ． （ i） 1 當 11a? ? ? 時， ()fx在 ( , 1)??? 上是增函數(shù)，在 ( 1, )a? 上是減函數(shù)，在( , )a?? 上是增函數(shù)， 所以 3( ) ( ) 3am a h a??， 24( ) m a x { ( 1 ) , ( 1 ) } m a x { , }33M a h g a a? ? ? ? ?．?? 5 分 ① 當 4233aa? ? ? ，即 11 3a? ? ? 時， 4() 3M a a??， 31( ) ( ) ( 3 4 )3M a m a a a? ? ? ? ?；?? 6
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