【正文】 1001101111011110000000100100011010010001001101010111100權 8421 2421 5421 本節(jié)小結(jié) 日常生活中使用十進制，但在計算機中基本上使用二進制，有時也使用八進制或十六進制。將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進制數(shù)時，整數(shù)部分采用基數(shù)除法，小數(shù)部分采用基數(shù)乘法。 二進制代碼不僅可以表示數(shù)值 ， 而且可以表示符號及文字 ， 使信息交換靈活方便 。 邏輯代數(shù)基礎 邏輯代數(shù)的基本概念 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則 邏輯函數(shù)的表達式 退出 事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯 0狀態(tài)和邏輯 1狀態(tài)。在邏輯代數(shù)，只有 ０ 和 １兩種邏輯值，有 與、或、非 三種基本邏輯運算，還有 與或、與非、與或非、異或 幾種導出邏輯運算。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯 0和邏輯 1， 0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。 基本邏輯運算 與邏輯（與運算） 與邏輯的定義：僅當決定事件（ Y）發(fā)生的所有條件（ A， B， C， … ）均滿足時，事件（ Y）才能發(fā)生。邏輯表達式為： Ｙ＝ＡＢ A、 B都斷開，燈不亮。 A接通、 B斷開，燈不亮。 這種把所有可能的條件組合及其對應結(jié)果一一列出來的表格叫做 真值表 ?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關系： A B Y0 00 11 01 10001開關 A 開關 B 燈 Y斷開 斷開斷開 閉合閉合 斷開閉合 閉合滅滅滅亮功能表 實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。表達式為： 開關 A， B并聯(lián)控制燈泡 Y Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋ … 電路圖L = A BEABY EABYEABY兩個開關只要有一個接通，燈就會亮。 A斷開、 B接通，燈亮。 A、 B都接通，燈亮?；蜷T的邏輯符號： AB ≥ 1Y=A+B 真值表 開關 A 開關 B 燈 Y斷開 斷開斷開 閉合閉合 斷開閉合 閉合滅亮亮亮功能表 邏輯符號 非邏輯（非運算） 非邏輯指的是邏輯的否定。表達式為： Ｙ＝Ａ 開關 A控制燈泡 Y 電路圖E A YR A Y0110實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。 E A YRA接通，燈滅。在邏輯表達式中，等式右邊的字母A、 B、 C、 D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母 Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。 記為 ),( ?CBAfY ? 注意 ：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是 0或 1，并且這里的 0和 1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。 若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個函數(shù)一定相等。 A B AB AB A B A + B0 00 11 01 1000111101 11 00 10 01110BAAB ??證明等式： 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則 邏輯代數(shù)的公式和定理 與運算： 111 001 010 000 ????????（ 1）常量之間的關系 （ 2）基本公式 0 1 律：???????AAAA10 ???????0011AA或運算： 111 101 110 000 ????????非運算： 10 01 ??互補律： 0 1 ???? AAAA等冪律： AAAAAA ???? 雙重否定律： AA ? 分別令 A=0及 A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。 如證明 AA： A B A . B B . A0 00 11 01 100010001 (A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC 分配率A(B+C)=AB+AC =A+AB+AC+BC 等冪率 AA=A =A(1+B+C)+BC 分配率A(B+C)=AB+AC =A+BC 01率 A+1=1 證明分配率： A+BC=(A+B)(A+C) 證明： （ 4）常用公式 還原律：???????????ABABAABABA)()(證明： ))(( BAAABAA ????吸收率：??????????????????????BABAABABAAABAAABAA )( )()(1 BA ???BA ??分配率A+BC=(A+B)(A+C) 互補率 A+A=1 01率 A 這個規(guī)則稱為代入規(guī)則 ?！?換成 “ ＋ ” ， “ ＋ ” 換成 “ 這個規(guī)則稱為反演規(guī)則 ?！?換成 “ ＋ ” ， “ ＋ ” 換成 “ 這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則 。 利用對偶規(guī)則 ,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半 。 ACABCBA ??? )( ))(( CABABCA ???? ABAB ???? ABABA ???? )()( ))(( EDCBAY ?????EDCBAY ????? EDCBAY ?????? 邏輯函數(shù)的表達式 （ 1 ）與或表達式： ACBAY ??（ 2 ）或與表達式： Y ))(( CABA ???（ 3 ）與非 與非表達式： Y ACBA ??（ 4 ）或非 或非表達式： Y CABA ????（ 5 ）與或非表達式： Y CABA ?? 一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非 與非表達式、或非 或非表達式、與或非表達式 5種表示形式。盡管一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。 3個變量 A、 B、 C可組成 8個最小項： ABCCABCBACBABCACBACBACBA 、 最小項的表示方法：通常用符號 mi來表示最小項。 3個變量 A、 B、 C的 8個最小項可以分別表示為： ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm????????765432 最小項的性質(zhì)： 3 變量全部最小項的真值表A B C m0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為 1。 ABC ABC ②任意兩個不同的最小項的乘積必為 0。 三變量最大項的編號表如下： 以 A， B， C取值所對應的十進制數(shù)給最大項編號 A B C0 0 0 0 M 00 0 1 1 M 10 1 0 2 M 20 1 1 3 M 31 0 0 4 M 41 0 1 5 M 51 1 0 6 M 61 1 1 7 M 7最大項 對應十進制數(shù) 編號是最大項值為 0 的變量取值CBA ??CBA ?? C?? BA C?? BA 可見：三變量邏輯函數(shù)的最大項有 23個，四變量邏輯函數(shù)的最大項有 24個， n變量邏輯函數(shù)則有 2n個最大項，其數(shù)目與最小項數(shù)目是相等的。 ②任意兩個最大項之和為 1。 ④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。 ?????????????????????????)7,3,2,1,0()())((73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY 如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為 1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。 BCAm ?3 本節(jié)小結(jié) 邏輯代數(shù)是分析和設計數(shù)字電路的重要工具。 與 、 或 、 非是 3種基本邏輯關系 ， 也是 3種基本邏輯運算 。 邏輯代數(shù)的公式和定理是推演 、 變換及化簡邏輯函數(shù)的依據(jù) 。 邏輯函數(shù)的最簡表達式 最簡與或表達式 乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達式。 CABACABACABAY ??????①在最簡與或表達式的基礎上兩次取反 ②用摩根定律去掉下面的非號 最簡或與表達式 括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達式。 CABACABACABACABAY????????????))(())((①求最簡或非 或非表達式 ②兩次取反 ５、 最簡與或非表達式 非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達式。 利用公式Ａ＋Ａ＝ 1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。 運用摩根定律 運用分配律 運用分配律 吸收法 BAFEB CDABAY ???? )(1 BABCDBADABADBCDABADCDBAY??????????????)()(2 如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。 （２）利用公式 Ａ＋Ａ Ｂ＝Ａ +Ｂ，消去多余的變量。 ３、配項法 （１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。 BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY?????????????)()()( ４、消去冗余項法 利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。 GCCEDBAEGGCCEDAGBDBY?????????②求 Y＇ 的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達式。 將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使 矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列 ，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項） 。 ABCD 00 01 11 1000 0 1 0 001 1 0 0 011 1 1 1 110 0 1 1 0?? )15,14,11,7,6,4,3,1(),( mDCBAYm1 m3 m4 m7 m6 m11 m15 m14 （ 2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達式給出：先將函數(shù)變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應的方格內(nèi)填入 1，其余的方格內(nèi)填入 0。 卡諾圖的性質(zhì) A BCD 00 01 11 1000 0 1 0 001 0 0 0 111 0 0 0 110 0 1 0 0 （ 1）任何兩個（ 21個）標 1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。 A B C 00 01 11 100 1 1 1 11 0 1 1 0CCBAABBABACBACABCBACBA????????)(BBACCACACAA BCCABBCACBA ???????? )(BA DC ABCD 00 01 11 1000 1 0 0 101 0 1 1 011 0 1 1 010 1 0 0 1 A BCD 00 01 11 1000 0 1 1 001 1 0 0 1