【正文】 相似三角形的判定，等邊三角形對應角相等的性質，本題中添加條件∠AEB=∠B 并求證 △AED∽△ABC 是解題的關鍵． 10． (2020178。一模 )如果 ，那么 = ． 【考點】 比例的性質． 【分析】 根據比例設 x=2k， y=5k，然后代入比例式進行計算即可得解． 【解答】 解： ∵ = ， ∴ 設 x=2k， y=5k， 則 = = =． 故答案為：． 【點評】 本題考查了比例的性質，利 用 “ 設 k法 ” 表示出 x、 y可以使計算更加簡 11． (2020178。一模 )已知點 P 把線段分割成 AP 和 PB兩段（ AP＞ PB），如果 AP是 AB和 PB的比例中項，那么 AP： AB的值等于 ． 【考點】 黃金分割． 【分析】 根據黃金分割的概念和黃金比是 解答即可． 【解答】 解： ∵ 點 P把線段分割成 AP和 PB 兩段（ AP＞ PB）， AP是 AB和 PB的比例中項， ∴ 點 P是線段 AB的黃金分割點， ∴AP ： AB= ， 故答案為： ． 【點評】 本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段 與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值 叫做黃金比． 12． (2020178。模擬 )如圖，以點 O為位似中心，將 △ABC 放大得到 △DEF ，若 AD=OA，則 △ABC 與 △DEF 的面積之比為 1： 4 ． 【考點】 位似變換． 【分析】 由 AD=OA，易得 △ABC 與 △DEF 的位似比等于 1： 2，繼而求得 △ABC 與 △DEF 的面積之比． 【解答】 解： ∵ 以點 O為位似中心，將 △ABC 放大得到 △DEF ， AD=OA， ∴AB ： DE=OA： OD=1： 2， ∴△ABC 與 △DEF 的面積之比為： 1： 4． 故答 案為： 1： 4． 【點評】 此題考查了位似圖形的性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方． 13． (2020178。一模 )已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90176。 ， ∴AB= =5， 當 △APQ∽△ABC 時， = ，即 =， 解得， AP= ； 當 △APQ∽△ACB 時， = ，即 ， 解得， AP= ， 故答案為： 或 ． 【點評】 本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊的比相等、正確運用分情況討論思想是解題的關鍵． 14． (2020178。一模 )已知 A（ 3， 2）是平面直角坐標中的一點，點 B是 x軸負半軸上一動點，聯(lián)結 AB，并以 AB為邊在 x軸上方作矩形 ABCD，且滿足 BC： AB=1： 2，設點 C的橫坐標是 a，如果用含 a的代數式表示 D點的坐標，那么 D點的坐標是 （ 2， ） ． 【考點】 相似三角形的判定與性質； 坐標與圖形性質． 【分析】 如圖，過 C作 CH⊥x 軸于 H，過 A 作 AF⊥x 軸于 F， AG⊥y 軸于 G，過 D作 DE⊥AG于 E，于是得到 ∠CHB=∠AFO=∠AED=90176。 ， ∴∠GAF=90176。 ， ∴∠BCH=∠ABF ， ∴△BCH∽△ABF ， ∴ ， ∵A （ 3， 2）， ∴AF=2 ， AG=3， ∵ 點 C的橫坐標是 a， ∴OH= ﹣ a， ∵BC ： AB=1： 2， ∴BH=AF=1 ， CH=BF= ， ∵△BCH∽△ABF ， ∴∠HBC=∠DAE ， 在 △BCH 與 △ADE 中， ， ∴△BCH≌△ADE ， ∴AE=BH=1 ， DE=CH= ， ∴EG=3 ﹣ 1=2， ∴D （ 2， ）． 故答案為：（ 2， ）． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵． 15.（ 2020178。一模） 如圖，直線 l1∥l 2∥l 3，直線 AC 分別交 l l l3于點 A、 B、 C；過點 B的直線 DE分別交 l l3于點 D、 E．若 AB=2， BC=4， BD=，則線段 BE的長為 3 ． 【考點】 平行線分線段成比例． 【專題】 計算題． 【分析】 根據平行線分線段成比例定理得到 = ，然后把 AB、 BC、 BD的值代入后利用比例的性 質可計算出 BE的長． 【解答】 解： ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴ = ，即 = ， ∴BE=3 ． 故答案為 3． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例． 16.（ 2020178。一模） 如圖，正方形 ABCD與正方形 EFGH是位似形，已知 A（ 0，5）， D（ 0， 3）， E（ 0， 1）， H（ 0， 4），則位似中心的坐標是 （ 0， ），（﹣ 6， 13） ． 【考點】 位似變換；坐標與圖形性質． 【分析】 分別利用待定系數法求出一次函數解析式，再利用當 B 與 F 是對應點，以及 當 B與 E是對應點分別求出位似中心． 【解答】 解：設當 B與 F是對應點，設直線 BF 的解析式為： y=kx+b， 則 ， 解得： ， 故直線 BF的解析式為： y=﹣ x+ ， 則 x=0時， y= ， 即位似中心是：（ 0， ）， 設當 B與 E是對應點，設直線 BE的解析式為： y=ax+c， 則 ， 解得： ， 故直線 BE的解析式為： y=﹣ 2x+1， 設直線 HF的解析式為： y=dx+e， 則 ， 解得： ， 故直線 HF的解析式為： y=﹣ x+5， 則 ， 解得： 即位似中心是：（﹣ 6， 13）， 綜上 所述：所述位似中心為：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 故答案為：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 【點評】 此題主要考查了位似圖形的性質以及待定系數法求一次函數解析式，正確分類討論得出是解題關鍵． 17.（ 2020178。聯(lián)考） 將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為 20cm，點 O為正方形的中心， AB=5cm，則 CD 的長為 20 cm． 【考點】 正方形的性質；相似三角形的判定與性質． 【分析】 根據題意四邊形 BOCE是正方形，且邊長等于大正方形的邊長的一半，等于 10cm，再根據 △ DCE和 △ DOA相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可． 【解答】 解：如圖， ∵ 點 O為正方形的中心， ∴ 四邊形 BOCE是正方形，邊長 =20247。廣東深圳178。 河南三門峽 178。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。浙江鎮(zhèn)江178。 ； （ 2）若點 C、點 N的位置如圖所示，求 α 的度數； （ 3） 當直線 PC 與 ⊙ O 相切時， 則 MC 的長 為 ▲ ． （ 1） 如圖 ， α= 30 176。 ，則 ∠ AMC=30176。 ； （ 3）334． ? C P M B O A C N M P O A C （ N） 4.（ 2020 青島一模） 把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如圖（ 1）擺放（點 C 與 E 重合），點 B、 C（ E）、 F在同一條直線上．已知： ∠ACB=∠EDF=90176。 ， AC=8cm， BC=6cm， EF=10cm．如圖（ 2）， △DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s的速度沿 CB 向 △ABC 勻速移動，在 △DEF移動的同時，點 P從 △ABC 的頂點 A出發(fā)，以 2cm/s的速度沿 AB 向點 B勻速移動；當點 P移動到點 B時，點 P停止移動， △ DEF也隨之停止移動． DE與 AC交于點 Q，連接 PQ，設移動時間為 t（ s）． （ 1）用含 t的代數式表示線段 AP 和 AQ的長，并寫出 t的取值范圍； （ 2）連接 PE，設四邊形 APEQ的面積為 y（ cm2），試探究 y的最大值； （ 3）當 t為何值時， △APQ 是等腰三角形． 【考點】 相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；等腰三角形的性質． 【專題】 動點型． 【分析】 （ 1）根據題意以及直角三角形性質表達出 CQ、 AQ，從而得出結論， （ 2）作 PG⊥x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ABC ﹣ S△BPE ﹣ S△QCE 即可求解， （ 3）根據題意以及三角形相似對邊比例性質即可得出結論． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠EDF=90176。 ， ∴∠CQE=45176。∠A=∠A ， ∴△AQI∽△ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當 或 或 時， △APQ 是等腰三角形． 5． （ 2020178。 一摸） （ 本小題 10 分） 如圖（ 1），在平面直角坐標系中，已知點 A（ 4， 0），點 B（ 0，） . 沿 x軸向右平移 Rt△ ABO，得 Rt△ ABO? ? ?，直線 OB??與 AB或 BA的延長線相交于點 D. 設 D（ x， y）（ 0x?），以點 A， ?， B?， D為頂點的四邊形面積記為 S. （ Ⅰ ）求 與 的函數關系式； （ Ⅱ ）用含 x（ 4x?）的式子表示 S； （ Ⅲ ）當 3S?，求點 D的坐標（直接寫出結果） . （圖 2為備用圖） . 解：（ Ⅰ ） 當點 O?與點 A不重合時， ∵ BO??∥ OB， ∴ △ ADO?∽△ ABO. ∴ O AOBO AO?. 如圖（ 1），點 D在 AB上， 有 4A O A O O O x? ? ? ?. ∴ 434yx??. 即3 34?? ?. 如圖（ 2），點 D在 BA延長線上， 有 4A O O O A O x??? ? ? ?. ∴ 4???. 即3 34? ?. y B O A x 圖（ 2） 圖（ 1） y B O O? A x D A? B? 第（ 1）題 圖（ 1） y B O A x D O? A? B? 當點 O?與點 A重合時， D與 A重合，此時， 0x?，3y?. ∴ y與 x的關系是：3 34yx?? ?. （ Ⅱ ） ① 如圖（ 1），當 x?? ?時， 點 D在 AB上， 有 四 邊 形 A B O A D OA A B DS S S? ? ? ??? ????. ∴ 1122S A O O A O D O? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 把 3 34DO y x?? ? ? ?，代入， 得1 1 34 3 ( 4 ) ( 3 )2 2 4S x x? ? ? ? ? ? ? ?. ∴ 23 38S x x?? ?（ 4x?? ?） . ② 如圖（ 2），當 4x?時，點 D在 BA延長線上， ∵ 平移 △ AOB得到 △ AOB? ? ?， ∴ O AA x????，||D y y? ? ??. ∵ A A D A A BA D A BS S S? ? ??? ????四 邊 形 ∴ 1122A A B A A DS S S A A B O A A D O? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 把 3 34yx?? ?代入，得 21 1 3 1 3 33 ( ) ( 3 )2 2 2 2 4 8S x x y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 綜上，223 3838， 0 4 ， 4. xxSxx? ? ? ? ???? ?????????? ??? （ Ⅲ ） D（43， 2） . 把103S?代入23 38S x x?? ?，得 1 43x，2 20 43x ??，舍 . 把43x，代入3 34yx?，得2y?. 103S?代入238Sx?，得1 4 503x ?? ?(舍 ) ，2 54x ??（舍） . 6． （ 2020178。一模） 如圖， AB是 ⊙O 的直徑， C， P是 上兩點， AB=13， AC=5． （ 1）如圖（ 1），若點 P是 的中點，求 PA的長； （ 2）如圖（ 2），若點 P是 的中點，求 PA的長． 圖（ 2） y B O A x O? A? B? D 【考點】 相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理． 【專題】 幾何綜合題． 【分析】 （ 1）根據圓周角的定理， ∠APB=90176。 ， ∠APB=90176。 ，