密度矩陣相關(guān)計(jì)算-在線瀏覽
2024-09-25 21:14本頁(yè)面
【正文】 迄今為止，研究的對(duì)象基本上是一個(gè)粒子，它的狀態(tài)總是用希爾伯特空間的一個(gè)態(tài)矢量來(lái)表示，這些態(tài)矢量滿足疊加原理，把這些狀態(tài)稱之為純態(tài)。總之，凡是能用希爾伯特空間的一個(gè)矢量描述的狀態(tài)都是純態(tài)。從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的角度看，由純態(tài)所描述的統(tǒng)計(jì)系綜稱為純粹系綜。 ??|??|以上純態(tài)和本征態(tài)的定義是不一樣的，本征態(tài)一定是純態(tài)，但純態(tài)一般不是本征態(tài)，而是多個(gè)本征態(tài)的線性組合 SternGerlach實(shí)驗(yàn) 證明電子有自旋角動(dòng)量的實(shí)驗(yàn) 使電中性銀原子在電爐內(nèi)蒸發(fā)射出，通過(guò)狹縫 S S2形成細(xì)束，經(jīng)過(guò)一個(gè)抽成真空的不均勻的磁場(chǎng)區(qū)域（磁場(chǎng)垂直于射束方向），最后到達(dá)照相底片上。 當(dāng)時(shí)測(cè)得銀、銅、金和堿金屬的原子磁矩分量的大小都等于一個(gè)玻爾磁子，它們的原子束都只分裂為對(duì)稱的兩束。這句話是怎么得來(lái)的？ 實(shí)際上，有時(shí)候會(huì)遇到更為復(fù)雜的情況，假設(shè)許多原子剛從一個(gè)熱爐子中蒸發(fā)出來(lái)，它們的自旋取向是無(wú)規(guī)律的，如何描述這種非極化的束流呢？為了使問題更具有普遍意義，上述問題可概括為，當(dāng)體系以 的概率（或權(quán)重）處于狀態(tài) ，以 的概率處于狀態(tài) ， ….. 以 的概率處于狀態(tài) 時(shí)，稱其中的每一個(gè) 為 參與態(tài) 。 為了說(shuō)明純態(tài)和混合態(tài)的區(qū)別，讓我們來(lái)考察力學(xué)量 F 在兩種狀態(tài)上的取值概率。 若再具體到坐標(biāo)表象 (坐標(biāo)為自變量 )，則 （ 1）式為 )()()( 2211 xcxcx ??? ?? （ 5） 在純態(tài)（ 5）上，坐標(biāo) 取 x0 值 的概率密度為 2022022200 )()()()( xcxcxxW ??? ???（ 6） 而在混合態(tài)上，坐標(biāo)取 x0 值 的概率密度為 220212010 )()()( pxpxxW ?? ??（ 7） 由上述兩式可以看出，在純態(tài)下，兩個(gè)態(tài)之間發(fā)生干涉，而在混合態(tài)下，無(wú)干涉現(xiàn)象發(fā)生。 密度算符的定義 為了能夠統(tǒng)一地描述純粹系綜和混合系綜， 1927年 Neumann 給出密度算符的演算方法。 設(shè) 是希爾伯特空間中的任意一個(gè)歸一化的態(tài)矢（純態(tài)）， F 為一個(gè)可觀測(cè)的物理量，對(duì)應(yīng)的本征值和本征矢分別為 fi 與 ， 算符 在狀態(tài) 上的平均值為 ??|?i?| F? ??|??? ?? |?| FF （ 8） 選任意一組正交歸一完備基底 ，于是有 ? ??n|?? ??????????nnnFnFnnF ||?||?|| ????（ 9） 選任意一組正交歸一完備基底 ，于是有 ? ??n|?? ??????????nnnFnFnnF ||?||?|| ????（ 9） 注意 (9)式中含有西格瑪， n的變化范圍假設(shè)為 1到 N，表示完備基底是 N維的。 左側(cè)表示列矢，右側(cè)表示行矢量； 左側(cè)表示行矢，右 側(cè)表示列矢。上式 (9)表示原式左側(cè)和右側(cè)矢量分別被 N維空 間的完備基矢量展開。若右側(cè)左右兩矢量交換位置，則顯然也等于 1，即為密度為 1(而非密度算符 )，相當(dāng)于做西格瑪和求陣跡。 顯然，密度算符是一個(gè)投影算符。 總之，利用狀態(tài) 定義的密度算符可以給出任意力學(xué)量 F 在該狀態(tài)上取值 概率與平均值，因此，純態(tài)下的密度算符是可以代替態(tài)矢來(lái)描述純態(tài)的一個(gè)算符。首先，進(jìn)行量子力學(xué)平均，即求出力學(xué)量 F 在每個(gè)參與態(tài) 上的平均值 ，然后，在對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，即求出以各自概率出現(xiàn)的量子力學(xué)平均的平均，稱為 加權(quán)平均 ，用公式表示為： ?i?| ?? ii F ?? |?|??? ? iiii FpF ?? |?|（ 13） 類似純態(tài)的做法，得到： ????????????? ?npFnFnnpFiiiinniiii||]|[?||?||????（ 14） 若定義 混合態(tài)下的密度算符 (備注：矩陣乘以常數(shù)，則每個(gè)矩陣元都乘以常數(shù) ) 1,|| ???? ??iiiiii pp ???（ 15） 則（ 14）式可以寫成 )??( ?FTrF ?（ 16） 力學(xué)量 F 的取值概率為 （ 17） 上述兩式與純態(tài)有同樣的形式，只不過(guò)兩種的密度算符的定義不同而己。類似于其它算符，密度算符在具體表象中的表示稱為 密度矩陣 。 性質(zhì) 1 對(duì)于密度算符 ，有 ? ??i?|????????11?1?2??TrTr （對(duì)于純態(tài)） （對(duì)于混合態(tài)） 證明 選取一組正交歸一完備基 ，對(duì)于純態(tài) ，有 (下式是求陣跡的常用方法： 用正交歸一完備基對(duì)應(yīng)的左矢與右矢作用于 方陣兩邊求西格瑪 ) ? ??n| ?i?|1|||? ????????? ? iinii nnTr ?????（ 19） ?????? ?|||? 2 ?????? iiii而 （ 20） 于是 1?? 2 ?
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