【正文】 rnarn ?????n1［ 1Δ］ = n２ 2r≥a 0≤r≤a n(r)= 為 漸變型光纖折射率分布 g為折射率分布指數(shù) 。 g=2， n(r)按平方律 (拋物線 )變化 ， 表示常規(guī)漸變型多模光纖的折射率分布 。 光纖的導(dǎo)光原理－幾何光線理論 —梯度光纖中局部數(shù)值孔徑 LNA 射線方程的解用幾何光學(xué)方法分析漸變型多模光纖要求解射線方程 ， 射線方程一般形式為 ndsdpndsd ??)( ρ為特定光線的位置矢量 ， s為從某一固定參考點起的光線長度 。 3） n與 φ和 z無關(guān) 。 a/2?光纖的導(dǎo)光原理－幾何光線理論 — 射線方程的解（自聚焦效應(yīng)） 第 46 頁 X 邊界條件： 1） 光線以 θ0從特定點 (z = 0, r = ri )入射到光纖 ， 2） 在任意點 (z, r)以 θ*從光纖射出 。 取 n(r)≈n(0)，由式 ()得到光線軌跡的普遍公式為 書 ( ) 光纖的導(dǎo)光原理－幾何光線理論 — 射線方程的解（自聚焦效應(yīng)） 自聚焦效應(yīng) 把光線入射點移到中心軸線 (z=0, ri=0)， 得到 )si n ()0(0 AzAnr ?? θ*=θ0cos(Az) 書 ( a) 書 ( b) 光纖的導(dǎo)光原理－幾何光線理論 — 射線方程的解（自聚焦效應(yīng)） 結(jié)論： 1)漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離 z的正弦函數(shù) ， 2)對于確定的光纖 ， 其幅度的大小取決于入射角 θ0， 3) 其周期 Λ=2π/A=2πa/ ， 取決于光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù) (a, Δ)， 而與入射角 θ0無關(guān) 。 ?2光纖的導(dǎo)光原理－幾何光線理論 — 射線方程的解（自聚焦效應(yīng)） 第 53 頁 X 為何 漸變型多模光纖的色散??？ 為什么漸變型多模光纖具有自聚焦效應(yīng)？ 因為光線傳播速度 v(r)=c/n(r)(c為光速 )，入射角大的光線經(jīng)歷的路程較長，但大部分路程遠離中心軸線， n(r)較小， 傳播速度較快，補償了較長的路程。所以這些光線的時間延遲近似相等。 *芯區(qū)中各種導(dǎo)模光線 與軸的夾角可以是連續(xù)變化的 。 沿徑向傳輸?shù)墓獠ǚ至渴窃谙鄬Φ男?/包層界面間 （ 有限空間 ） 往返傳輸 ， 根據(jù)波形可以穩(wěn)定存在的條件 ——空間長度等于半波長的整數(shù)倍 ，而空間長度已由光纖結(jié)構(gòu)所確定 ， 所以徑向波長分量 λ r不能隨意了 ， 從而導(dǎo)致它們夾角不能隨意也即不能連續(xù)變化 ， 即 。） （波導(dǎo)的具體邊界條件確定“特解”，是電場或磁場在波導(dǎo)中的某種穩(wěn)定存在形式） 光纖的導(dǎo)光原理 － 波動理論 光纖的導(dǎo)光原理 － 波動理論－ 麥克斯韋方程組 由電磁場理論 ， 適用于任何各向同性 （ 導(dǎo)體和媒質(zhì)是理想的 ） 且無源的介質(zhì)的麥克斯韋方程組為： （ rot 旋度 div散度 grad梯度 ） tEHro t??????tHEr o t??????? ( 1 )HBED????????00??Bd i vDd i v??用 μ 除麥克斯韋方程組第二式的兩邊，并取 rot，得 0)1( ???? tHr o tEr o tr o t???………………..(2) 取麥克斯韋方程組第一式對時間的微商，并將（ 2）代入得 0)1( 22???? tEEr o tr o t????………………..(3) 利用恒等式 Ag r a dAr o tAr o t ??? ??? ??? )(2??? g r a d d ivr o tr o t則（ 3）變成 0)ln(222 ???????? Ed i vg raEro tg ra dtEE ???? ???? ...(4) 光纖的導(dǎo)光原理－ 波動理論－ 波動方程 此外，對麥克斯韋方程組第五式應(yīng)用恒等式 則可得到 ………………..(5) 因式（ 4）最后可寫成 ...(7) ??? g r a dAAd ivAd iv ??? ??? )(0?? ?? g r a dEEd iv ??0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dEg ra dEro tg ra dtEE ????...(6) 的波動方程得到利用同樣的處理方法可 H?0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dHg ra dHro tg ra dtHH ????光纖的導(dǎo)光原理－ 波動理論－ 波動方程 （ 6）（ 7）式是適用于各向同性、非均勻且無源介質(zhì)中的波動方程式，它們是分析漸變光纖的基本方程。 0222 ?????tEE ?? ??0222 ?????tHH ?? ??………………..(9) 光纖的導(dǎo)光原理－ 波動理論－ 波動方程 假定突變型光纖纖芯半徑為 a，其折射率為 n1，包層的折射率為 n2，并且認(rèn)為包層無限伸展，進一步假定所有場量對時間和 Z軸方向以及方位角的依賴關(guān)系為 : )](e x p [ ??? lzti ??光纖的導(dǎo)光原理－ 波動理論－ 突變型光纖的 波動方程精確解及特征方程 一 ． 光纖中導(dǎo)波的簡諧振動方程和 Bessel方程 式 （ 8） 、 （ 9） 又稱為矢量的亥姆霍茲 （ Helmholtz） 方程 0)()( 2202 ??? HEnkHE ???? ………………..(10) 光纖的導(dǎo)光原理－ 波動理論－ 突變型光纖的 波動方程精確解及特征方程 式中 ??20 ?k 為真空中的波數(shù)，ε 0為真空中的介電常數(shù) ， ε r 為相對介電常數(shù) 式 （ 8） 、 （ 9） 也可以寫成下式： 即 02??? ??rn0)()()( 22 ??? HEiwHE ??????0)()( 22 ??? HEwHE ??????………………..(10`) 注：式（ 8）、（ 9），式（ 10），式（ 10‘ ）描述的是同一方程組 當(dāng)選用圓柱系坐標(biāo)系時，可得場的縱向分量 EZ和 HZ的標(biāo)量亥姆霍茲方程 ………………..(11) 將其展開后可得 ……..(12) 利用分離變量法令 Ez Hz的解為 0))(()( 2222 ????zzozztHEnkHE ?0))(()(1)(1)( 22222222???????????zzozzzzzzHEnkHErrHErHEr ??? ? ? ?rRBAHEzz ??)()( ?………………..(13) 將其代入式（ 12）中，兩邊同乘以因子 r2/AR（ r） ψ (θ ) ，經(jīng)整理后得： ………………..(15) 為了使上式恒等，令其等于常數(shù) m2，于是式（ 14）變?yōu)楣饫w中導(dǎo)波的簡諧振動方程和 Bessel方程 ...(14) 2222202222 )()(1)()()()()( ? ????? ddnkrdr rdRrR rdr rRdrR r ????????0)()( 222?? ??? ?? mdd0)(])[()()( 222220222?????? rRmrnkdr rdRrdr rRdr ?...(16) 二 、 導(dǎo)波簡諧振動方程的解 式 （ 15） 形式同簡諧振動方程 是一樣的 ， 因此它們解的形式為 ……………… .（ 17） 場分量 Ez 或 Hz沿光纖圓周方向的分布為一駐波 ， m是該駐波的波節(jié)或波腹的個數(shù) ， m取不同的值 ， 可得不同的場型分布或模式 （ 后面的分析還可知 m是 Bessel函數(shù)的階數(shù) ） 。 解的形式應(yīng)根據(jù)物理概念進行取舍 。由圖知 ， r=0時 Ym (0)= ∞ ， 這與實際情況不符 ， 應(yīng)舍去這個解 。 km（ r） Im（ r） r r 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 (a) (b) (a)第一類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) (b)第二類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) 由圖可看出 ， 當(dāng) r≈ 5時 ， Im(r)=∞ ， 故這一解也應(yīng)該舍棄 。 五 ． 導(dǎo)波的其它四個分量的解 有了場分量 Ez和 Hz的表達式后 ， 再利用麥?zhǔn)戏匠? 就可得到場的其它四個分量的解的表達式 ， 這些表達式的形式分別為： EjHHjE ???? 00 ???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????aremWKraWKaAWWKraWKrmBWajEaremUJraUJaAUUJraUJrmBUajEEzjmmmmrzjmmmmrr??????????)si n ()()()()()si n ()()()()(39。021 ???????????????????????????????????????????????????????????????aremWKraWKaBWWKraWKrmAWajEaremUJraUJaBUUJraUJrmAUajEEzjmmmmzjmmmm?????????????)c o s()()()()()c o s()()()()(39。021????????????????????????????????????