20xx年數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班講義-在線瀏覽
2024-09-03 05:09本頁面
【正文】 ?))(()()( 00 xxfxfxf ????? ?00 )()( xxfxf ???? ?)()( 0 abMxf ??? K? (定數(shù) ) 可見對任意 ( , ) ,x a b? ( ) ,f x K? 即得所證 . 例 19. 且 試證存在 證 : 欲證 ,2)()(??? fbaf ????因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理條件 , 故有 ),(,))(()()( baabfafbf ????? ??,],[)( 2 上滿足柯西定理條件在及又因 baxxf將 ①代入② , 化簡得 故有 ① ② ),(2)( ??? fbaf ???? ),(, ba???即要證 .2)())((22 ??? fababf ?????例 20. 設(shè)實數(shù) 滿足下述等式 012 10 ????? n aaa n?證明方程 在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一 個實根 . 證 : 令 ,)( 10 nn xaxaaxF ????? ?則可設(shè) 1210 12)(??????nn xnaxaxaxF ?且 ?)0(F由羅爾定理知存在一點 ,)1,0(?? 使 即 .10010 ?內(nèi)至少有一個實根），（在???? nn xaxaa ?,0)1( ?F例 21. 設(shè)函數(shù) f (x) 在 [0, 3] 上連續(xù) , 在 (0, 3) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ,1)3(,3)2()1()0( ???? ffff 使,)3,0(??.0)( ?? ?f分析 : 所給條件可寫為 1)3(,13 )2()1()0( ???? ffff(03考研 ) 試證必存在 想到找一點 c , 使 3 )2()1()0()( fffcf ???證 : 因 f (x) 在 [0, 3]上連續(xù) , 所以在 [0, 2]上連續(xù) , 且在 [0, 2]上有最大值 M 與最小值 m, 故 Mfffm ?? )2(),1(),0( Mm fff ?? ?? 3 )2()1()0(由介值定理 , 至少存在一點 使,]2,0[?c3 )2()1()0()( fffcf ???1,1)3()( ?? fcf? ,)3,(,]3,[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且 ccxf由羅爾定理知 , 必存在 .0)(,)3,0()3,( ???? ?? fc 使例 22. 設(shè)函數(shù) 在 上二階可導(dǎo) , 且 證明 證 : ,]1,0[?? x 由泰勒公式得 )0(f)1(f兩式相減得 2211220 ( ) ( ) ( 1 ) ( )f x f x f x??? ?? ??? ? ? ?221221 )()1)(()( xfxfxf ?? ?????????221221 )()1()( xfxf ?? ???????)1(21 xx ??? ]1,0[,1 ?? x)(xf? xxf )(?? 221 )( xf ???? )10( ?? ?)10()1)(()1)(()( 221 ?????????? ?? xfxxfxf例 23. 證 : 例 23. 證 : 例 24. 求 解： 利用中值定理求極限 原式 )1(11lim22???? ?? nanann ? 之間）與在 1( ?nana?221)1(l i m??????annnna?例 )(!211 4422 xoxxe x ?????244c o s 1 ( )2 ! 4 !xxx o x? ? ? ?)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????127)(lim4441270???? xxoxx解 : 原式 題型四： 函數(shù)性態(tài)的相關(guān)問題 研究函數(shù)的性態(tài) : 增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點 , 漸近線 , 曲率 應(yīng)用 : 幾何應(yīng)用 。 研究方程實根等 . 弧長微分 xys d1d 2??? 或 22 )(d)(dd yxs ??曲率公式 sK dd ??23)1( 2yy?????定理： 若 為 偶數(shù) 時： 則 是 極大值 ； 若 n則 為 極小值 . () 0( ) 0 ,nfx ? 0()fx() 0( ) 0 ,nfx ?(2) 當(dāng) 為 奇數(shù) 時， 不是極值 . 0()fxn設(shè) (1) 當(dāng) 0()fx定理： 為 奇數(shù) 時，點 是 的 拐點 ； n00( , ( ) )x f x ()fx(2) 當(dāng) 為 偶數(shù) 時 ， 點 不是 的 拐點 . n ()fx設(shè) 在 處 階可導(dǎo)，且 (1) 當(dāng) ()fx 0x n00( , ( ))x f x例 26. ()解 : 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù) 例 27. (1) 設(shè)函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示 , 單調(diào)減區(qū)間為 。 極大值點為 . )(xf? ),0(),( 21 xx??),(),0,( 21 ??xx21, xx0?x提示 : 的正負(fù)作 f (x) 的示意圖 . 單調(diào)增區(qū)間為 。 拐點為 ),0(),( 21 xx??))0(,0(,))(,(,))(,( 2211 fxfxx
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