一、問題的提出-在線瀏覽
2024-08-27 23:19本頁面
【正文】 x)=1/n, ? ?? x(2) x x(3)時， F(x)=P(X x)=2/n, ? ?? 顯然， x x(1)時， F(x)=P(X x)=0, ?解： 將 X所取的 n個值按從小到大的順序 排列為： 求 X的分布函數(shù) . x(1) x(2) … x (n) ?? ??x(k) x x(k+1)時， F(x)=P(X x)=k/n, ? ?? x x(n)時， F(x)=P(X x)=1 ??解： 將 X所取的 n個值按從小到大的順序 排列為： 求 X的分布函數(shù) . 例 2 X具有離散均勻分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,… ， n， x(1) x(2) … x (n) ?? ?于是得 ??????????????),(m a x,1),2,1(),(m i n,),(m i n,0)(111njnnxxxxknjxxxxnkxxxxF????當(dāng)個不大于恰有中且當(dāng)當(dāng)這個結(jié)果在數(shù)理統(tǒng)計中有用 . 例 2 X具有離散均勻分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,… ， n， 求 X的分布函數(shù) . 三、連續(xù)型 即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的 定積分 . 若 X 是連續(xù)型 ， X ～ f (x) , 則 F(x) = P(X x) = ? ??x dttf )(? f (x) x o 由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點， )()( xfdxxdF ?下面我們來求一個連續(xù)型 的分布函數(shù) . 例 3 設(shè) X 的密度函數(shù)為 f (x) ????? ?????其它0,11,12)(2 xxxf ? 求 F(x). F(x) = P(X x) = ? ??x dttf )(?解： 求 F(x). 解： 對 x 1， F(x) = 0 ?? ???? ???? x dttdtxF 1 21 120)( ?21a r c s i n11 2 ???? xxx??,11 ??? x對 對 x1， F (x) = 1 ??????????其它,011,12)(2 xxxf ????????????????1,111,21a r c s i n111,0)(2xxxxxxxF??即 四、分布函數(shù)的性質(zhì) (1) F(x) 非降，即若 x1x2，則 F(x1) F(x2) 。一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣 . 42d?求截面面積 A= 的分布 . 例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布， 一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣 . 已知 t=t0 時刻噪聲電壓 V的分布， 求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等 . t0t0 設(shè)隨機變量 X 的分布已知， Y=g (X) (設(shè) g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 下面進行討論 . 這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的 . 二、離散型隨機變量 函數(shù)的分布 解： 當(dāng) X 取值 1， 2， 5 時， Y 取對應(yīng)值 5， 7， 13， 例 1 設(shè) X ??????521求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù) . ～ ??????3013502075...~Y而且 X取某值與 Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生 的事件，兩者具有相同的概率 . 故 如果 g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng) 并項即可 . 一般，若 X是離散型 ， X的概率函數(shù)為 X ??????nnpppxxx??2121～ 則 Y=g(X) ～ ??????nnpppxgxgxg??2121 )()()(如： X ?????? ?101～ 則 Y=X2 的概率函數(shù)為： ??????406010..Y ～ 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 解：設(shè) Y的分布函數(shù)為 FY(y)， 例 2 設(shè) X ~ ??? ???其它,040,8/)(xxxf X求 Y=2X+8 的概率密度 . ? ?FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) ?28?y28?y于是 Y 的密度函數(shù) 21)28()()( ???? yfdyydFyfXYY0)28(??yfX16?故 ????? ????其它,0168,328)( yyyf Y21)28()()( ???? yfdyydFyfXYY注意到 0 x 4 時， 0?)( xf X即 8 y 16 時， 0)28( ??yfX 此時 168)28( ??? yyfXY=2X+8 ??? ???其它,040,8/)( xxxfX例 3 設(shè) X 具有概率密度 ,求 Y=X2的概率密度 . )( xfX)( yXyP ????求導(dǎo)可得 ? ????????????0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyf XXYY當(dāng) y0 時 , )()( yYPyFY ?? )( 2 yXP ?? 注意到 Y=X2 0，故當(dāng) y 0時， ?? 0?)( yF Y)(xFX)( yFY解： 設(shè) Y和 X的分布函數(shù)分別為 和 ， )()( yFyF XX ???若 e xxfX 2221 ???)(則 Y=X2 的概率密度為： ??????????0,00,21)(221yyyf eyyY ?? ????????????0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyf XXYY????? x 從上述兩例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法 從 { g(X) ≤ y }中解出 X,從而
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