16722離散型隨機(jī)變量及其概率分布-在線瀏覽
2024-08-27 19:24本頁面
【正文】 項(xiàng)分布 在 n重伯努利試驗(yàn)中 , 設(shè)每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為 p, 用 X表示 n重伯努利試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 則 X的可能取值為0,1, …, n, 且對每一個 k(0?k?n), 事件 {X=k}即為 n次試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生 k次 , 根據(jù)伯努利概型 , 有 { } ( 1 ) , 0 , 1 , ,k k n knP X k C p p k n? ? ?() 14 定義 5 若一個隨機(jī)變量 X的概率密度由()式給出 , 則稱 X服從參數(shù)為 n,p的 二項(xiàng)分布 . 記為 X~b(n,p)(或 B(n,p)). { } , 0 , 1 , , , 1 .k k n knP X k C p q k n q p? ? ? ? () 0{ } ( ) 1nnkP X k p q?? ? ? ??注 : 當(dāng) n=1時 , ()式化為 P{X=k}=pkq1k, k=0,1。 (2) 當(dāng) (n+1)p為整數(shù)時 , 二項(xiàng)概率 P{X=k}在 k=(n+1)p和 k=(n+1)p1處達(dá)到最大值 . 注 : [x]為不超過 x的最大整數(shù)值 . 18 例 3 已知 100個產(chǎn)品中有 5個次品 , 現(xiàn)從中有放回地取 3次 , 每次任取 1個 , 求在所取的 3個中恰有 2個次品的概率 . 解 因?yàn)檫@是有放回地取 3次 , 因此這 3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立 , 它是伯努利試驗(yàn) . 依題意 , 每次試驗(yàn)取到次品的概率為 . 設(shè) X為所取的 3個中的次品數(shù) , 則X~b(3,), 于是 , 所求概率為 : 223{ 2 } ( 0 .0 5 ) ( 0 .9 5 ) 0 .0 0 7 1 2 5 .P X C? ? ?19 例 4 某人進(jìn)行射擊 , 設(shè)每次射擊的命中率為 , 獨(dú)立射擊 400次 , 試求至少擊中兩次的概率 . 解 將一次射擊看成是一次試驗(yàn) . 設(shè)擊中的次數(shù)為 X, 則 X~b(400, ). X的分布律為 400400{ } ( 0 .0 2) ( 0 .9 8 ) , 0 , 1 , , 4 0 0 .k k kP X k C k? ? ?于是所求概率為 P{X?2}=1P{X=0}P{X=1} =1()400400()()399 = 20 注 : 有時利用對立事件求概率比直接求更簡便 . 21 例 5 設(shè)有 80臺同類型設(shè)備 , 各臺工作是相互獨(dú)立的 , 發(fā)生故障的概率都是 , 且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理 . 考慮兩種配備工人的方法 , 其一是由 4人維護(hù) , 每人負(fù)責(zé) 20臺 。 無后效性 — 在不相重疊的時間段內(nèi) , 事件的發(fā)生相互獨(dú)立 。 到某機(jī)場降落的飛機(jī)數(shù) 。 一紡綻在某一時段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù) 。 一段時間間隔內(nèi)某容器內(nèi)的細(xì)菌數(shù) , 等等 . 41 例 7 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X服從參數(shù) ?= , 求該城市一天內(nèi)發(fā)生 3次或 3次以上火災(zāi)的概率 . 解 由概率的性質(zhì)及 ()式 , 得 0 1 20. 8{ 3 } 1 { 3 } 1 { 0 }{ 1 } { 2 }0. 8 0. 8 0. 81 0. 04 74 .0 ! 1 ! 2 !P X P X P XP X P Xe? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????42 8. 二項(xiàng)分布的泊松近似 給出另一個近似公式 , 如果有兩個正數(shù) a與 b, a特別小 , b特別大 , ab則適中 , 則有近似公式 (1a)b?eab 這是因?yàn)? 111( 1 )( 1 ) ( 1 )aabb abaaea a e??? ? ???43 假設(shè) X~b(n,p), 而 n特別大 , p特別小 , np適中 , 則由前面的近似公式 (){ } ( 1 )()!!k k n knkkk n k p n pP X k C p pn n pp e ekk ? ? ??在實(shí)際計算中 , n100, np10時近似效果就很好 . 44 定理 1(泊松定理 ) 在 n重伯努利試驗(yàn)中 , 事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 pn(注意這與試驗(yàn)次數(shù) n有關(guān) ), 如果
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