最小二乘曲線擬合及其matlab實現(xiàn)-在線瀏覽
2024-08-09 03:32本頁面
【正文】 法概述 4 曲線擬合簡介 4 最小二乘法簡介 52 曲線擬合的最小二乘法原理 6 原理的闡述及理論公式推導 6 結(jié)合實例分析與理解 8 總結(jié)歸納求解步驟 113 基于MATLAB的最小二乘曲線擬合 12 MATLAB軟件介紹 12 求解的基本理論闡述 13 結(jié)合實例進行MATLAB解算 144 最小二乘曲線擬合案例分析與解算 16 案例敘述 16 數(shù)據(jù)輸入與分析 17 進行擬合求解 18 手工解算 18 基于MATLAB的解算 19 擬合函數(shù)的精度檢測 21 225 結(jié) 論 23參考文獻 24 最小二乘曲線擬合及其MATLAB實現(xiàn)陳濤1（1. 重慶交通大學土木工程學院，重慶400074；）摘 要隨著人類認識能力的不斷進步以及計算技術(shù)的快速發(fā)展，對于變量之間的未知關(guān)系，應用曲線擬合的方法對揭示其內(nèi)在規(guī)律具有重要的理論與現(xiàn)實意義。在科學實驗數(shù)據(jù)的處理、分析時，實驗數(shù)據(jù)擬合是經(jīng)常采用的一種方法。同時將根據(jù)最小二乘擬合理論，并利用MATLAB數(shù)值分析軟件進行編程，解決最小二乘曲線擬合在塔機起重量監(jiān)測系統(tǒng)中的應用問題，實現(xiàn)相應案例數(shù)據(jù)的曲線擬合，獲得了曲線模型對相應數(shù)據(jù)的擬合曲線，很好地解決了該工程案例的曲線擬合問題。由于觀測數(shù)據(jù)往往不準確，因此不要求經(jīng)過所有帶點，而只要求在給定點上的誤差按某種標準最小。如果用最大范數(shù)，計算上困難較大，通常采用歐式范數(shù)作為誤差度量的標準。如果是所有待定參數(shù)的線性函數(shù)，那么相應的問題稱為線性最小二乘問題，否則稱為非線性最小二乘問題。這是因為這種方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情況下，用最小二乘法還能提供解答，而且從統(tǒng)計學的觀點分析，用該方法求得各項估計具有最優(yōu)統(tǒng)計特征，因此這一方法也是系統(tǒng)識別的重要基礎(chǔ)。利用該方法“擬合”出的函數(shù)曲線雖然不能保證通過所有的樣本點，但是很好地“逼近”了它們，充分反映了已知數(shù)據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系。本文針對最小二乘曲線擬合的有關(guān)理論和應用問題以及相應的MATLAB實現(xiàn)進行探討。曲線擬合是指選擇適當?shù)那€類型來擬合觀測數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系。用解析表達式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應的解析表達式，來反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。當c在中線性出現(xiàn)時，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多求解擬合曲線的成功方法，對于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數(shù)，從而求得擬合曲線。 最小二乘法簡介 最先于1805年發(fā)表的，其動機是為處理一類從天文學和測地學中提出的數(shù)據(jù)分析問題。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。這時可采用最小二乘法先擬合出一個多項式，再根據(jù)此多項式求解任一自變量所對應的因變量較精確的結(jié)果，據(jù)此繪圖可得到較精確、較合理的曲線。皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星[2],經(jīng)過40天的跟蹤觀測后，由于谷神星運行至太陽背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。時年24歲的高斯也計算了谷神星的軌道。奧爾伯斯根據(jù)高斯計算出來的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。 法國科學家勒讓德于1806年獨立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”，但因不為世人所知而默默無聞。 1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強于其他方法的證明，因此被稱為高斯莫卡夫定理。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。2 曲線擬合的最小二乘法原理 原理的闡述及理論公式推導給定數(shù)據(jù)，設(shè)擬合函數(shù)形式為 其中為已知的線性無關(guān)函數(shù)（如果存在不全為零的常熟，使得，則稱函數(shù)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)）。特別的，若則稱為次最小二乘擬合多項式。將（）式兩邊對求偏導。在線性代數(shù)中，中兩個向量及的內(nèi)積定義為，將它加以推廣，得到下面結(jié)論：設(shè)與是兩個已知函數(shù)，記，令利用內(nèi)積的定義，式（）可以寫為 其中，可以證明，當函數(shù)線性無關(guān)時，方程組（）是對稱正定的，因此有唯一解。另外，對帶權(quán)的最小二乘擬合函數(shù)有如如下的定義：設(shè)，給定在個節(jié)點上的函數(shù)值及一組權(quán)系數(shù)，若有函數(shù)，滿足則稱為在個節(jié)點上關(guān)于權(quán)系數(shù)的最小二乘擬合函數(shù)。據(jù)此他提出了轟動世界的Moore定律，預測這種增長趨勢會一直延續(xù)下去。據(jù)此導出了著名的Moore定律。若將表 1中的數(shù)據(jù)代入式（），得線性方程組 方程組（）是一個朝頂方程組，在這五個線性方程中，任意兩個聯(lián)立求解可得到十組不同的解?，F(xiàn)將線性方程組（）寫出矩陣形式,其中，此超定方程組五常義解，即是說不存在使得，但是該超定方程組存在最小二乘解，也就是說存在，使得達到最小，并且是線性方程組 的解。 總結(jié)歸納求解步驟下面我們就以上摩爾（Moore）預測公式實例總結(jié)利用最小二乘曲線擬合原理求解實際問題的步驟：（1）分析數(shù)據(jù)，根據(jù)散點圖設(shè)定擬合函數(shù)（2）代入數(shù)據(jù)得到超定方程組，該超定方程組的矩陣形式為，其中，.（3）如表 2所示，建立法方程組.19591195938376811962358863849444196347852385
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