淺談向量在幾何中的應用學士學位論文-在線瀏覽
2024-08-05 02:29本頁面
【正文】 量，向量就這樣進入了數(shù)學。高中教材中引入向量的主要目的是為研究空間幾何提供一種新的方法，它是一種非常強大的工具，它能將“幾何形式”轉化為“代數(shù)形式”，極大的促進了幾何的代數(shù)化。首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”兩大位置關系，主要包括“線線平行”、“線面平行”、“線線垂直”、“線面垂直”。這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數(shù)“正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的定義”發(fā)生了對接——對邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量的投影，我們可以利用直角三角函數(shù)的定義來掌握向量在求“空間角”方面的應用。最后，它還可以處理平面幾何中圖形的面積計算等。 解:如圖，建立直角坐標系， 顯然是的中垂線， 所以是的中點。 設點，則， 。 即:。 所以。解:， 同理:， 設與的夾角為， ， 所以， 所以。例3:已知有兩條直線分別為，的方向向量，的方向向量，試判斷兩條直線是否平行？解:因為， 所以兩條直線與不平行。例4：在正方體中，、分別為、的中點，求證：平面。 取，得，所以。 又因為平面， 所以平面。 又因為平面， 所以平面。例5：在三棱柱中，側棱垂直于底面，在底面中，是上一點，且面，為的中點，求證面面。 設面的法向量為，則 且。 設直線、的方向向量分別為和，那么，當，時，若，則。設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。當，時。證明：分別以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系 ， 則。 即。 故取的中點就能滿足平面。若、是與平行的兩個不共線向量，是平面的法向量，則。求證：平面平面。 則， 所以， 設平面的法向量，則 且。 易證平面的法向量為, 因為, 所以。（2） 三大角1. 線線角 ，是兩異面直線，所成的角為，則有，所以。 又因為 同理可得：。2. 線面角設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。解：根據(jù)正三棱柱的性質，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， 。 由于， 所以平面， 所以是與側面所成的角。3. 二面角設平面，的法向量分別為，則。解：過作于，過作于， 則二面角的大小等于向量與的夾角大小。 由，知。 又因為， 所以， ，從而為的中點。 則。（3） 四大距離1. 兩點間的距離 例12：在的二面角中。 解：如圖所示，作， 則，且。 因為， 所以。2. 點與線之間的距離例13：設為矩形所在平面外的一點，直線垂直于平面外的一點，直線垂直平面，求點到直線的距離。3. 點與平面之間的距離例14：如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側棱，分別為與的中點，點在平面上的射影是的重心，求點到平面的距離。 所以。 所以有。4. 兩異面直線的距離例15：已知正方體的棱長為1，求異面直線與的距離。 由， ， 所以。所以 即：。 用向量法解決幾何問題的一般步驟用向量法解決幾何問題有兩種方法：一種是用向量的代數(shù)式運算；另外一種是通過建立空間坐標系，用向量的坐標來運算。如果所給的圖形不容易建立空間直角坐標系，我們可以用向量的代數(shù)運算來解決問題，但需要我們付出大量思維以及運算量，對學生的邏輯推理能力要求比較高。注意盡可能用已經(jīng)存在的過同一個點的兩兩垂直的三線，如果沒有三線，也盡量找兩線垂
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