數(shù)值分析-全部-知識(shí)點(diǎn)-在線瀏覽
2024-08-04 21:24本頁(yè)面
【正文】 并利用Newton迭代公式，整理后可得所以有證畢。 ，計(jì)算到。Chapter 3線性方程組的迭代解法基本思想（與簡(jiǎn)單迭代法類(lèi)比）將線性方程組等價(jià)變形為以構(gòu)造向量迭代格式用算出的向量迭代序列去逼近解。Seidel迭代格式:Sor法的迭代格式對(duì)線性方程組先將其寫(xiě)成不動(dòng)點(diǎn)方程組由 得Sor迭代 Ax=b，將系數(shù)矩陣A作如下分解 Jacobi迭代的向量迭代格式Seidel向量迭代格式。例：設(shè)為矩陣的算子范數(shù)，證明若，則為非奇異矩陣，且證：用反證法。常用的矩陣范數(shù)有如下4種1）列范數(shù)：2）行范數(shù)：3）F范數(shù)：4）2范數(shù)：，是最大特征值。式中是上任何一種范數(shù)。1）收斂條件，定理：線性迭代格式對(duì)任意初始向量都收斂的充要條件是迭代矩陣譜半徑。再由引理，可得。類(lèi)似必要性處理，有由引理，由有，上式取極限，得。定理 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣是非奇異矩陣。用反正法。記將的第m個(gè)等式寫(xiě)為等式兩邊取絕對(duì)值有因?yàn)椋鲜酵?，有此與A是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)陣矛盾。l 判別條件Ⅱ設(shè)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則線性方程組的Jacobi迭代和Seidel迭代對(duì)任意初始向量都收斂。設(shè)矩陣A是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)陣，則有， Jacobi迭代矩陣，故有由判別條件Ⅰ，可得Jacobi迭代的收斂性。矛盾，故應(yīng)有成立。 用Jacobi 迭代法解線性方程組 5x1+2x2+3x3= 12x1+4x2+2x3= 202x13x2+10x3= 3要求誤差解 本題的Jacobi迭代格式為它的Jacobi迭代矩陣為。取初值進(jìn)行迭代計(jì)算如下故所求近似解為。 研究下面線性方程組的Gauss消元法求解結(jié)果，假設(shè)計(jì)算在4位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算機(jī)上求解。因?yàn)?，做第一步Gauss消元法，有類(lèi)似有，得方程組回代，求得解，但這個(gè)解不滿(mǎn)足原方程組，求出的解是錯(cuò)誤的！若將本例的方程組調(diào)換方程的次序，變?yōu)樵谕粋€(gè)計(jì)算機(jī)上再用Gauss消元法計(jì)算，可得到解，它與原方程組的準(zhǔn)確解，相差不多，是可以接受的解，主要是舍入誤差造成的。即 Doolittle分解算法A可以進(jìn)行Doolittle分解的條件，：非奇異矩陣A的Doolittle分解是唯一的。即：能進(jìn)行Gauss消元法就能做Doolittle分解。解 因?yàn)闆](méi)有指定用哪種LU分解，這里使用Doolittle分解法做之。緊湊格式故， 設(shè)非奇陣，稱(chēng)為矩陣A的條件數(shù)。Chapter4．冪法：基本思想:、初始向量，誤差eps，實(shí)用中一般取；(k) 220。 max(V(k)), mk1 220。 V(k)/mk |mk mk1|eps,則顯示特征值mk 和對(duì)應(yīng)的特征向量u(k),終止7．k220。QR方法，基本思想：利用矩陣的QR分解，通過(guò)逆序相乘產(chǎn)生對(duì)原矩陣的一系列正交相似變換，使其變化為一個(gè)近似的上三角矩陣來(lái)求全部特征值。QR算法 ① 對(duì)作QR分解，得到矩陣。 設(shè)非零向量，則稱(chēng)矩陣為Householder矩陣，式中。解 ，得所求鏡面反射矩陣。構(gòu)造原理已知數(shù)表 … …設(shè)n次插值多項(xiàng)式式中是與無(wú)關(guān)的n次多項(xiàng)式。 證明 因?yàn)椋视杏谑荝n（x）可分解為為求出k(x)，做輔助函數(shù)則有在時(shí)，g(t)=0，即g(t)在[a,b]上有n+2個(gè)零點(diǎn)，顯然g(t)在由組成的n+1個(gè)小閉區(qū)間上滿(mǎn)足Rolle中值定理，故g39。類(lèi)似的有g(shù)178。在上式兩邊對(duì)t求n+1階導(dǎo)數(shù)，有將t =x 代入上式，代入式（），即得定理結(jié)果。解 線性插值需要兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，內(nèi)插比外推好，因?yàn)椋蔬x，由的Lagrange 插值公式，有所以有為保證內(nèi)插，對(duì)拋物線插值，選取三個(gè)節(jié)點(diǎn)為由n=2的Lagrange 插值公式，有，所以線性插值計(jì)算的誤差估計(jì)為而當(dāng)時(shí)，故拋物線插值計(jì)算
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