【正文】 據(jù)橢圓的對稱性，不妨設直線OP，OQ的方程分別為y＝x，y＝－x可得P，Q或者P，原點O到直線l的距離仍為.綜上分析，點O到直線l的距離為定值.二 雙曲線知識要點1. 雙曲線的定義：當時, 的軌跡為雙曲線。 當時, 的軌跡為以為端點的兩條射線2. 雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程性質(zhì)焦點， 焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率漸近線與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為：與雙曲線共軛的雙曲線為等軸雙曲線的漸近線方程為 ，離心率為.； 例題精講例1：已知，一曲線上的動點到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支例2：雙曲線的漸近線為，則離心率為 點撥：當焦點在x軸上時，；當焦點在y軸上時，例3 已知雙曲線的左，右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 ．【解題思路】這是一個存在性問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題來解決[解析](方法1)由定義知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當時，解得．即的最大值為．(方法2) ，雙曲線上存在一點P使，等價于例4 若雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為 （ ）A. 　　 B. 　　 C. 　　　 D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關系[解析] 焦點到漸近線的距離等于實軸長，故，,所以例5已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線過焦點且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 [解析]（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，．（2）設漸近線與直線交于A、B，則，解得即，又，雙曲線的方程為基礎鞏固1．雙曲線的焦距為 （ ）A．3 B．4 C．3 D．42．“雙曲線的方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”的 （ ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則（ ）A．1 B．2 C．3 D．44．雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為 （ ）A． B． C． D．5．與曲線共焦點，而與曲線共漸近線的雙曲線方程為 （ ）A． B． C． D．6．一動圓與兩圓：x2+y 2=1和x2+y 28x+12=0都外切，則動圓心的軌跡為 （ ） A．拋物線 B．圓 C．雙曲線的一支 D．橢圓7．若雙曲線上一點P到雙曲線右焦點的距離是2，那么點P到y(tǒng)軸的距離是 （ ）A． B． C． D．8．θ是第三象限角，方程x2+y 2sinθ=cosθ表示的曲線是 （ ） A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓 C．焦點在x軸上的雙曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線9．已知雙曲線的左右焦點分別為，為的右支上一點，且，則的面積等于 ( )Ａ．　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ．10．連接雙曲線與的四個頂點構成的四邊形的面積為S1，連接它們的的四個焦點構成的四邊形的面積為S2，則S1：S2的最大值是 （ ）A．2 B． 1 C． D． 11．設橢圓C1的離心率為，則曲線C2的標準方程為 （ ）A． B． C． D．12．為雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為（　?。粒? Ｂ． Ｃ． Ｄ．13．過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。14．方程所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則； ②若曲線C為雙曲線，則或；③曲線C不可能為圓； ④若曲線C表示焦點在上的雙曲線，則。（填上所有正確命題的序號）15．已知雙曲線經(jīng)過點M（），且以直線x= 1為右準線．（1）如果F（3，0）為此雙曲線的右焦點，求雙曲線方程； （2）如果離心率e=2，求雙曲線方程．16．直線y=kx+1與雙曲線3x2y2=1相交于不同二點A、B．（1）求k的取值范圍； （2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求該圓的半徑17．雙曲線的右焦點為，過的動直線與雙曲線交于兩點，點的坐標是．（I）證明為常數(shù)；（II）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，只有一項是符合題目要求的）1．D 解：由雙曲線方程得，于是，故選Ｄ。4．B 解：如圖在中， ， ，故選B。6．C 7．A 解：由點到雙曲線右焦點的距離是2知在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點到雙曲線右準線的距離是，雙曲線的右準線方程是，故點到軸的距離是．選A．8．D9．Ｃ　　解法一：∵雙曲線中 ∴∵ ∴ 作邊上的高，則 ∴∴的面積為 故選C。10．Ｃ　，∴，故選C。故選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，）13． 解：雙曲線的右頂點坐標，右焦點坐標，設一條漸近線方程為，建立方程組，得交點縱坐標，從而。三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．解：（1）設P（x，y）為所求曲線上任意一點，由雙曲線定義得 = 化簡整理得（2）因此，不妨設雙曲線方程為，因為點M（）在雙曲線上，所以，得，故所求雙曲線方程為16解：（1）當k=0時，y=1與3x2y2=1有二公共點；若k≠0，則x=(y1)代入3x2y2=1有(3k2)y26y+3k2=0，顯然k2=3時，直線與雙曲線漸近線平行，無二公共點，所以k2≠3．由y∈R，所以Δ=364(3k2)2≥0，所以0k26，且k2≠3．綜合知k≠(，)且k≠177。1為所求的值17．解：由條件知，設，．（I）當與軸垂直時，可設點的坐標分別為，此時．當不與軸垂直時，設直線的方程是．代入，有．則是上述方程的兩個實根，所以，于是．綜上所述，為常數(shù)．（II）解法一：設，則，由得：即于是的中點坐標為．當不與軸垂直時，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．解法二：同解法一得……………………………………①當不與軸垂直時，由（I） 有．…………………②．………………………③由①、②、③得．　…………………………………………④．……………………………………………………………………⑤當時，由④、⑤得，將其代入⑤有．整理得．當時，點的坐標為，滿足上述方程．當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程．故點的軌跡方程是．三 拋物線知識要點：已知平面內(nèi)