【正文】 (B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有 同理由 得 故 ，有k(k≥n).【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε：不論ε0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}B={這只硬幣為正品}由題知 則由貝葉斯公式知 （Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以BB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率為51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求  故所求值為0.，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設(shè)P（A）,故P（A）=.，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】 ① ②故 故 ③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有 故 故 或（舍去）即P（A）=.y (a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？【解】利用幾何概率來求，故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、從中先后抽出兩份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】設(shè)Ai={報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.則 (1) (2) 而 故 58. 設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考)解：因?yàn)? 所以 .習(xí)題二，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 當(dāng)1≤x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(shù)(3) ，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P分布函數(shù)4.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .、乙兩人投籃，,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率。（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%f(x)=Ae|x|, ∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1}。（2） 確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1） (2) c=3（cm）X~N（,）,177。(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí)當(dāng)x0時(shí) 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0當(dāng)0x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為，（1）=，求。由右連續(xù)性知，故①為0。即，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則X~b(n,)即 得 n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 (B) [0,π]。 (D) [0,].【解】在上sinx≥0，(x)是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。故選（A）。故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。(2) 該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。（2） ，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/{1X1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=P{X≤x}. (1997研考)【解】顯然當(dāng)x1時(shí)F（x）=0；而x≥1時(shí)F（x）=1由題知當(dāng)1x1時(shí)，此時(shí) 當(dāng)x=1時(shí)，故X的分布函數(shù)54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|1}P{|Yμ2|1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因?yàn)?，即，所以? ，即.習(xí)題三，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123100300、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=0（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P0(3) 于是U=min(X,Y)0123P(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P0，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；（2） 設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1）