知識講解-指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-基礎(chǔ)-在線瀏覽
2025-08-09 20:08本頁面
【正文】 ∴值域為[1，a)∪(a，+∞).【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時，；0a1時，【解析】(1)R(2)要使原式有意義，需滿足3x≥0，即，即．(3) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足2x1≥0，即2x≥1，故x≥0，即(4) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足，即，所以a1時，；0a1時，.【總結(jié)升華】本題中解不等式的依據(jù)主要是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)所給的同底指數(shù)冪的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性來判斷指數(shù)的大小關(guān)系.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例3．討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域．【思路點撥】對于x∈R，恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，因此可以逐層討論它的單調(diào)性，綜合得到結(jié)果．【答案】函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù) （0，3]【解析】解法一：∵函數(shù)的定義域為（－∞，+∞），設(shè)xx2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，∴，．（1）當(dāng)x1＜x2＜1時，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，則知．又對于x∈R，恒成立，∴．∴函數(shù)在（－∞，1）上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)1≤x1＜x2時，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，則知．∴．∴函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，．∴函數(shù)的值域為（0，3]．解法二：∵函數(shù)的下義域為R，令u=x2－2x，則．∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是減函數(shù)，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)在（－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)．又在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)．值域的求法同解法一．【總結(jié)升華】由本例可知，研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當(dāng)a＞1時，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)0＜a＜1時，的單調(diào)與的單調(diào)性
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