【正文】 gctgα = (ms1時，有一螺帽自升降機的天花板上松落，．計算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時間；（2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離．[解答]在螺帽從天花板落到底面時，升降機上升的高度為；螺帽做豎直上拋運動，位移為．由題意得h = h1 h2，所以，解得時間為= (s)．算得h2 = ，．[注意]以升降機為參考系，釘子下落時相對加速度為a + g，而初速度為零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可計算釘子落下的時間，進而計算下降距離．1．9 有一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處．已知氣流相對于地面的速度為u，AB之間的距離為l，飛機相對于空氣的速率v保持不變．（1）如果u = 0（空氣靜止），試證來回飛行的時間為；（2）如果氣流的速度向東，證明來回飛行的總時間為；（3）如果氣流的速度向北，證明來回飛行的總時間為．[證明]（1）飛機飛行來回的速率為v，路程為2l，所以飛行時間為t0 = 2l/v．（2）飛機向東飛行順風的速率為v + u，向西飛行逆風的速率為v u，所以飛行時間為 ．ABABvv + uv uABvuuvv（3）飛機相對地的速度等于相對風的速度加風相對地的速度．為了使飛機沿著AB之間的直線飛行，就要使其相對地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小為，所以飛行時間為 ． 證畢．v1hlv2θ1．10 如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為θ，偏向于汽車前進方向，速度為v2．今在車后放一長方形物體，問車速v1為多大時此物體剛好不會被雨水淋濕？v1hlv2θv3ααv⊥[解答]雨對地的速度等于雨對車的速度加車對地的速度，由此可作矢量三角形．根據(jù)題意得tanα = l/h．方法一：利用直角三角形．根據(jù)直角三角形得v1 = v2sinθ + v3sinα，其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，即 ． 證畢．方法二：利用正弦定理．根據(jù)正弦定理可得，所以 ，即 ．方法三：利用位移關系．將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個分量，在t時間內(nèi)，雨滴的位移為l = (v1 – v2sinθ)t，h = v2cosθ?t．兩式消去時間t即得所求． 證畢．第二章 質(zhì)點力學的基本定律P46．θmF2．1 如圖所示，把一個質(zhì)量為m的木塊放在與水平成θ角的固定斜面上，兩者間的靜摩擦因素μs較小，因此若不加支持，木塊將加速下滑．（1）試證tanθ≧μs；（2）須施加多大的水平力，可使木塊恰不下滑？這時木塊對斜面的正壓力多大？（3）如不斷增大的大小，則摩擦力和正壓力將有怎樣的變化？（1）[證明]木塊在斜面上時受到重力和斜面的支持力以及靜摩擦力，其中θGmNff ≦ fs = μsN，而 N = Gcosθ．要使木塊加速下滑，重力沿著斜面的分量不得小于最大靜摩擦力fs．根據(jù)牛頓第二定律得Gsinθ μsGcosθ = ma≧0，因此tanθ≧μs． 證畢．θGmNfxFθy（2）[解答]要使物體恰好不下滑，則有 Gsinθ μsN Fcosθ = 0， （1） N Gcosθ Fsinθ = 0． （2）（2）μs +（1）得Gsinθ μsGcosθ – Fcosθ μsFsinθ = 0，解得． （3）上式代入（2）得．（4）（3）[解答]當木塊平衡時，一般情況下，有Gsinθ f Fcosθ = 0，N Gcosθ Fsinθ = 0．解得 f = Gsinθ Fcosθ，N = Gcosθ + Fsinθ．可知：當?shù)拇笮〔粩嘣黾訒r，摩擦力將不斷減?。划擣 = Gtanθ時，摩擦力為零；當F再增加時摩擦力將反向；至于木塊是否向上做加速運動，則要進一步討論．正壓力將不斷增加．[討論]當tanθ 1/μs時，如果木塊恰好不上滑，則摩擦力恰好等于最大靜摩擦力，方向沿著斜面向下，用上面的方法列方程，可得．將（3）式中的μs改為μs就是這個結果．可見：當tanθ = 1/μs時，F(xiàn)趨于無窮大，只有當tanθ 1/μs時，才能增加F的大小使木塊向上加速滑動．2．2 如圖所示，設質(zhì)量m = 10kg的小球掛在傾角α = 30176。s2)．1．8 s2)．物體下降3s末的速度為v = att = (ms2，方向與水平前進方向夾角為30176。s1，方向與水平線夾角為30176。s2)，切向加速度為 at = rβ = (ms1)，法向加速度為 an = rω2 = (ms1)，落地速度為v = (vx2 + vy2)1/2 = (ms1)．取向上的方向為正，根據(jù)勻變速直線運動的速度公式vt v0 = at，這里的v0就是vy0，a = g；當他達到最高點時，vt = 0，所以上升到最高點的時間為t1 = vy0/g = (s)．再根據(jù)勻變速直線運動的速度和位移的關系式vt2 v02 = 2as，可得上升的最大高度為h1 = vy02/2g = (m)．他從最高點開始再做自由落體運動，下落的高度為h2 = h1 + h = (m)．根據(jù)自由落體運動公式s = gt2/2，得下落的時間為= (s)．因此他飛越的時間為t = t1 + t2 = (s)．他飛越的水平速度為vx0 = v0cosθ = (ms1從西邊起跳，準確地落在坑的東邊．已知東邊比西邊低70m，忽略空氣阻力，且取g = 10ms2)．1．3 一人乘摩托車跳越一個大礦坑，176。s1)，v(2) = 122 622 = 0，質(zhì)點在第2s內(nèi)的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．（3）質(zhì)點的瞬時加速度大小為a(t) = dv/dt = 12 12t，因此1s末的瞬時加速度為a(1) = 12 121 = 0，第2s內(nèi)的平均加速度為= [v(2) v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = 6(m大學物理習題解答 湖南大學應用物理系 1第一章 質(zhì)點運動學P26．1．1 一質(zhì)點沿直線運動，運動方程為x(t) = 6t2 2t3．試求：（1）第2s內(nèi)的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬時速度，第2s內(nèi)的路程；（3）1s末的瞬時加速度和第2s內(nèi)的平均加速度．[解答]（1）質(zhì)點在第1s末的位移大小為x(1) = 612 213 = 4(m)．在第2s末的位移大小為x(2) = 622 223 = 8(m)．在第2s內(nèi)的位移大小為Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，經(jīng)過的時間為Δt = 1s，所以平均速度大小為=Δx/Δt = 4(ms1)．（2）質(zhì)點的瞬時速度大小為v(t) = dx/dt = 12t 6t2，因此v(1) = 121 612 = 6(ms2)．[注意]第幾秒內(nèi)的平均速度和平均加速度的時間間隔都是1秒．1．2 一質(zhì)點作勻加速直線運動，在t = 10s內(nèi)走過路程s = 30m，而其速度增為n = 5倍．試證加速度為．并由上述數(shù)據(jù)求出量值．[證明]依題意得vt = nvo，根據(jù)速度公式vt = vo + at，得a = (n – 1)vo/t， (1)根據(jù)速度與位移的關系式vt2 = vo2 + 2as，得a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式證得．計算得加速度為= (m的夾角的初速度65ms2．問：70m（1）礦坑有多寬？他飛越的時間多長？（2）他在東邊落地時的速度？速度與水平面的夾角？[解答]方法一：分步法．（1）夾角用θ表示，人和車（他）在豎直方向首先做豎直上拋運動，初速度的大小為vy0 = v0sinθ = (ms1)，所以礦坑的寬度為x = vx0t = (m)．（2）根據(jù)自由落體速度公式可得他落地的豎直速度大小為vy = gt = (ms1)，與水平方向的夾角為φ = arctan(vy/vx) = ，方向斜向下．方法二：一步法．取向上的方向為正，他在豎直方向的位移為y = vy0t gt2/2，移項得時間的一元二次方程，解得．這里y = 70m，根號項就是他落地時在豎直方向的速度大小，由于時間應該取正值，所以公式取正根，計算時間為t = (s)．由此可以求解其他問題．1．4 一個正在沿直線行駛的汽船，關閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = kv2，k為常數(shù)．（1）試證在關閉發(fā)動機后，船在t時刻的速度大小為；（2）試證在時間t內(nèi)，船行駛的距離為．[證明]（1）分離變量得，積分 ，可得 ．（2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以積分 ．因此 ． 證畢．[討論]當力是速度的函數(shù)時，即f = f(v)，根據(jù)牛頓第二定律得f = ma．由于a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分離變量得方程，解方程即可求解．在本題中，k已經(jīng)包括了質(zhì)點的質(zhì)量．如果阻力與速度反向、大小與船速的n次方成正比，則dv/dt = kvn．（1）如果n = 1，則得，積分得lnv = kt + C．當t = 0時，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = kt，得速度為 v = v0ekt．而dv = v0ektdt，積分得．當t = 0時，x = 0，所以C` = v0/k，因此．（2）如果n≠1，則得，積分得．當t = 0時，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本題的結果．如果n≠2，可得，讀者不妨自證．1．5 ，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：（1）t = 2s時，它的法向加速度和切向加速度；（2）當切向加速度恰為總加速度大小的一半時，θ為何值？（3）在哪一時刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度為ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rads2)；角加速度為 β = dω/dt = 24t = 48(rads2)．（2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2，當at = a/2時，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，即 ，解得 ．所以=(rad)．（3）當at = an時，可得rβ = rω2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = (s)．yxOαv0θaaxayv0xv0y1．6 一飛機在鉛直面內(nèi)飛行，某時刻飛機的速度為v = 300m而斜向下，此后飛機的加速度為a = 20m而斜向上，問多長時間后，飛機又回到原來的高度？在此期間飛機在水平方向飛行的距離為多少？[解答]建立水平和垂直坐標系，飛機的初速度的大小為v0x = v0cosθ， v0y = v0sinθ．加速度的大小為ax = acosα， ay = asinα． 運動方程為，．即 ， ．令y = 0，解得飛機回到原來高度時的時間為t = 0（舍去）；(s)．將t代入x的方程求得x = 9000m． [注意]選擇不同的坐標系，例如x方向沿著a的方向或者沿著v0的方向，也能求出相同的結果．RA1．7 一個半徑為R = ，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動．一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體A．在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速地下降，在Δt = = ．求物體開始下降后3s末，圓盤邊緣上任一點的切向加速度與法向加速度．[解答]圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體A下落加速度．由于，所以at = 2h/Δt2 = (ms1)，這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為= (ms2上升，的光滑斜面上，求：αa（1）當斜面以加速度a = g/3沿圖中所示的方向運動時，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫Ω魇嵌啻?？?）當斜面的加速度至少為多大時小球?qū)π泵娴恼龎毫榱?？（g = s2)．2．3 物體A和B的質(zhì)量分別為mA = 8kg，mB = 16kg，它們之間用繩子聯(lián)結，在傾角α = 37176。s2)．（2）將加速度a的公式代入任一方程都可解得張力為= (N)．由此可見：當兩物體的摩擦因素相等時，張力才為零，這是因為它們的加速度相等．（3）將A和B互換位置后，由于A的加速度比較大，所以繩子不會張緊，其張力為零．A的運動方程為mAgsinα – μkAmAgcosα = mAaA，解得 aA = g(sinα – μkAcosα) = (ms2)．αABv0P2．4 一個重量為P的質(zhì)點，在光滑