【正文】 因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類(lèi)型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。先討論一下一階方程部分。各種類(lèi)型都有自己對(duì)應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。=f(x)則做變量替換u=yx，則y162。+p(x)y=q(x)第一步先求y162。+p(x)y=q(x)解出C(x)后代入即可得解；對(duì)于貝努利方程y162。y=182。xx0M(x,y0)dx+242。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類(lèi)似的規(guī)律。 原方程就化為dz=f(x)dx 的一階方程形式，積分即得；再對(duì)y(n2)、y(n3)依次做上述處理即可求解；y162。=f(x,y162。=p、y162。=p162。162。)叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令y162。的p為y的函數(shù)），則dpdydp162。y=dydx=pdy=pp162。=p、y162。=p162。=p、y162。=pp162。大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。 高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。xaf(t)dt單獨(dú)分離到方程的一端形成“242。對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。(x)=0。2. 討論方程根的情況。；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫(huà)輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，e)=0）結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。162。162。x)=0且f162。(x0)185。162。(x)是f(x)的變化率，f162。(x)是f162。162。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，的變化率。x)0可以說(shuō)明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是；f162。(x)0可以說(shuō)明函數(shù)f(x)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：f162。(x)為負(fù)，隨x變大而變小（大小關(guān)系可參考圖3）；同樣，f162。(x)0也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像：6 162。(x)為負(fù)，隨x變大而變大。162。162。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“f(162。162。0”，這從圖像上也很容易理解：滿(mǎn)足f162。(x)0的圖像必是凸的，即或，當(dāng)f(162。162。0時(shí)不就一定是的情況嗎。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來(lái)獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過(guò)足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積dv=2pxf(x)dx ,其中f(x)是薄桶的高，2pxf(x)是薄桶展開(kāi)變成薄板后的底面積，dx就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。2pxf(x)dx。2. 薄餅型.22y=xy=4x本例求的是由拋物線(xiàn)及繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的高H的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式y(tǒng)ydv=p(y4)dy。核心式中的dy 是薄餅的高。3. 薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為R ，密度 m=r2， 其中 r指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。該核心式可以想象成是將薄球展開(kāi)、攤平2m=rdr得到一個(gè)薄面以后再用底面積乘高得到的。本例中“用內(nèi)表面的表面積4pr2乘以薄球厚度dr得到核心式”、“將dv內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過(guò)自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲幸恍┻壿嫳砻嫔喜⒉环铣Ｒ?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問(wèn)出現(xiàn)，求和與展開(kāi)則都是大題。陳文燈復(fù)習(xí)指南上對(duì)相關(guān)章節(jié)的指導(dǎo)并不盡如人意，因?yàn)樘最}型的方法在這些復(fù)雜章節(jié)中不能展現(xiàn)其長(zhǎng)處，故整體來(lái)說(shuō)結(jié)構(gòu)比較散亂。其中比較判斂法有一般形式和極限形2式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子： 1. 已知級(jí)數(shù)229。|an|判斂過(guò)程的核心是找到不等式|an|n2+l的斂散性。1(a+)2n2n+l，再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）”。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列an滿(mǎn)足limx174。(a+1)n的斂散性。對(duì)于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超出“知+1一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。ln(1+u)=uu+u+(1)(165。) 11122133nun+1n+1+=229。nun+1n+1 4. e=1+u+u++u+=229。unn! (165。)5.sinu=uu++(1)13!2n1(2n+1)!u2n+1+=229。nu2n+1(2n+1)!(165。)6.cosu=1u+u+(1)2!4!24n(2n)!u+=229。n2n(2n)!(165。)這六個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)相互關(guān)聯(lián)，后3個(gè)相互關(guān)聯(lián)。1+u+u2++un+不就是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列嗎，在|u|1時(shí)的求和公式s=1u正是函數(shù)展開(kāi)式的左端。un=0165。n=0165。存在著關(guān)系“[ln(1+u)]162。(1)n=0nn+1n+1。(1,1)，相互之間存在著上述的清晰聯(lián)系。(165。)，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開(kāi)式形式上的相似性。n!n式是公式4：e=229。(1)n=0165。(1)n=0165。一個(gè)可看成是將eu展開(kāi)式中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)得到的，一個(gè)可看成是將eu展開(kāi)式中的偶sinu、數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)而得到。記好6個(gè)關(guān)鍵式是解決冪級(jí)數(shù)求和與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時(shí)也大有規(guī)律可循。由題目給出的冪級(jí)數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的冪級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則應(yīng)該用公式4，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的變n(1)形變不掉階乘和；若題目給出的冪級(jí)數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則必從3兩式中選擇公式，其它情況也類(lèi)似。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)）、四則運(yùn)算（用于展開(kāi)、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開(kāi)、求和）。n對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法，即利用變換229。nn=0165。1n=0165。求得冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)以后代入極限式即可。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個(gè)復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看作是若干個(gè)正余弦運(yùn)動(dòng)的疊加。對(duì)于形狀類(lèi)似上圖的函數(shù)，展開(kāi)以則直接套用公式13后級(jí)數(shù)中既有正弦級(jí)數(shù)也有余弦級(jí)數(shù)； 若為奇函數(shù)如數(shù)；2. ，則展開(kāi)后只有正弦級(jí)數(shù)；若為偶函數(shù)則展開(kāi)后只有余弦函題目給出函數(shù)后沒(méi)有說(shuō)明周期，則需要根據(jù)題目要求進(jìn)行 奇開(kāi)拓或偶開(kāi)拓。 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問(wèn)題。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。這個(gè)聯(lián)系很明顯，舉例來(lái)說(shuō)，平面與直線(xiàn)平行時(shí)，平面的法矢量與直線(xiàn)的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為0， 14若直線(xiàn)方程為xx0l=yy0m=zz0n，平面方程為Ax+By+Cz+D=0，則有Al+Bm+Cn=0。b)數(shù)積定義與求線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面夾角公式的聯(lián)系。174。174。174。舉例來(lái)說(shuō)，設(shè)直線(xiàn)l1:xx11=yy11==zz11174。，直線(xiàn)l1:174。l2+m2+n2|a||b|174。其中174。對(duì)于線(xiàn)面、面面夾角同樣適用，只需注意一點(diǎn)就是線(xiàn)面夾角公式中不是cosq=而是sinq=，因?yàn)槿缬覉D所示由于直線(xiàn)的方向矢量與直線(xiàn)的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線(xiàn)面夾角qo162。qq+q=90是兩矢量夾角的余角，即，故求夾角公式的左端是sinq。c) 三點(diǎn)式平面方程各形式間的相互聯(lián)系。點(diǎn)法式A(xx0)+B(yy0)+C(zz