【正文】 多基于網(wǎng)格的方法在求解過程中存在的問題。由于粒子運動是完全用拉格朗日觀點描述的，所以沒有計算對流項，也就不存在數(shù)值擴散問題。近年來，使用潰壩模型對 MPS 法收斂性進行研究，已經(jīng)取得了一些研究成果，但都不全面）等；(2)基于最小二乘近似的無網(wǎng)格法，如擴散單元法[20] (DEM)、無網(wǎng)格Galerkin方法[2123] (EFG無網(wǎng)格伽遼金法是一種計算協(xié)調(diào)性和穩(wěn)定性都比較好的無網(wǎng)格方法)、有限點方法[24]( FP)、局部邊界積分方程法[25] (LBIE)、無網(wǎng)格局部Petrov—Galerkin方法[26] (MLPG)、最小二乘無網(wǎng)格法[2728] (LSMFM)、最小二乘配點無網(wǎng)格法[29] (LSCM)、加權最小二乘無網(wǎng)格法[30] (MWLS)等：(3)基于徑向基函數(shù)近似的無網(wǎng)格法[31]（詳見第二部分），如局部徑向點插值方法[32](LRPIM)等；(4)基于單位分解法近似的無網(wǎng)格法，如單位分解方法[33] (PU)等。與有限元法不同，無網(wǎng)格法的近似函數(shù)是直接通過一組離散點（I=1,2，……，N）來建立的，不依賴于網(wǎng)格，函數(shù)u（x） 引自張雄、劉巖、馬上的《無網(wǎng)格法的理論及應用》可以近似為： 其中是函數(shù)u（x）在節(jié)點處的值，為節(jié)點的形函數(shù)，n為形函數(shù)在x處不為零的節(jié)點總數(shù)。在這里，我們簡單介紹一下最小二乘配點無網(wǎng)格法：配點型無網(wǎng)格法是純無網(wǎng)格法，不需要背景網(wǎng)格，效率高。為了解決這一問題，一個辦法是在域D內(nèi)引入了Na個輔助點XN，XN+1……。此時方程個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù)，需要用最小二乘方法求解，因此將此方法稱為最小二乘配點無網(wǎng)格法?；舅枷胧前堰B續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點構成的網(wǎng)格來代替，這些離散點稱作網(wǎng)格的節(jié)點；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。 在采用數(shù)值計算方法求解偏微分方程時，若將每一處導數(shù)由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉換成求解代數(shù)方程的問題，即所謂的有限差分法。換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微分方程的解的過程（Leon，Lapidus，George ，1985）如何根據(jù)問題的特點將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分；如何把原微分方程離散化為差分方程組以及如何解此代數(shù)方程組。對于一個微分方程建立的各種差分格式，為了有實用意義，一個基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就是相容性要求。此外，還有一個重要的概念必須考慮，即差分格式的穩(wěn)定性。前面各層若有舍入誤差，必然影響到后面各層的值，如果誤差的影響越來越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩(wěn)定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認為格式是穩(wěn)定的。關于差分格式的構造一般有以下3種方法。另一方法叫積分插值法，因為在實際問題中得出的微分方程常常反映物理上的某種守恒原理，一般可以通過積分形式來表示。 無網(wǎng)格法和有網(wǎng)格法的比較無網(wǎng)格和有網(wǎng)格法的比較如下表所示：項目有限元（有網(wǎng)格法）無網(wǎng)格法形函數(shù)基于預定義單元基于局部支持域離散系統(tǒng)剛度矩陣帶狀的，對稱的帶狀的，依據(jù)方法的不同可為對稱的或非對稱的施加本質邊界條件簡單而標準可能需要特別處理計算速度快有些方法較FEM慢精確性較FDM精確比FEM更精確自適應分析對3D算例困難容易發(fā)展階段相當成熟初期，仍包含許多挑戰(zhàn)性問題現(xiàn)有商業(yè)性軟件包許多幾乎沒有2．有限差分法和RPIM無網(wǎng)格化法（配點法）的原理及特點 有限差分法傷的操作步驟和基本格式 有限差分法的操作步驟 有限差分法的具體操作分為兩個部分： (1)用差分代替微分方程中的微分，將連續(xù)變化的變量離散化，從而得到差分方程組的數(shù)學形式； (2)求解差分方程組。通常采用的是規(guī)則的分割方式。網(wǎng)絡線劃分的交點稱為節(jié)點。在第二步中，數(shù)值求解的關鍵就是要應用適當?shù)挠嬎惴椒?，求得特定問題在所有這些節(jié)點上的離散近似值。如對一個單變量函數(shù) f(x)，x為定義在區(qū)間[a,b]的連續(xù)變量。顯然步長h越小，近似解的精度就越好。這里要指出的是：在構造差分格式時，究竟應該選擇向前，向后還是中間差分或差商來代替微分方程中的微分或微商，應當根據(jù)由此得到的差分方程解的穩(wěn)定性和收斂性來考慮。在求解微分方程中，我們會遇到兩類問題：一類是初始值問題；另一類是邊值條件的問題。 區(qū)域離散化的幾種形式 即通過任意的網(wǎng)絡劃分方法把區(qū)域D離散為許許多多的小單元。常用的有正方形分割法和矩形分割法（）。對圓形區(qū)域，應用圖（）所示的極網(wǎng)絡格式也許更方便些。圖 求解區(qū)域的矩形分割。 求解區(qū)域的極網(wǎng)絡分割。GAMBIT通過它的用戶界面（GUI）來接受用戶的輸入。面向CFD分析的高質量的前處理器，其主要功能包括幾何建模和網(wǎng)格生成。 　　GAMBIT軟件具有以下特點： 　　☆ ACIS內(nèi)核基礎上的全面三維幾何建模能力，通過多種方式直接建立點、線、面、體，而且具有強大的布爾運算能力，ACIS內(nèi)核已提高為ACIS R12。導入過程新增自動公差修補幾何功能，以保證GAMBIT與CAD軟件接口的穩(wěn)定性和保真性，使得幾何質量高，并大大減輕工程師的工作量； 　　☆ 新增PRO/E、CATIA等直接接口， 使得導入過程更加直接和方便； 　　☆ 強大的幾何修正功能，在導入幾何時會自動合并重合的點、線、面；新增幾何修正工具條，在消除短邊、縫合缺口、修補尖角、去除小面、去除單獨輔助線和修補倒角時更加快速、自動、靈活，而且準確保證幾何體的精度； 　　☆ G/TURBO模塊可以準確而高效的生成旋轉機械中的各種風扇以及轉子、定子等的幾何模型和計算網(wǎng)格； 　　☆ 強大的網(wǎng)格劃分能力，可以劃分包括邊界層等CFD特殊要求的高質量網(wǎng)格。它具有豐富的物理模型、先進的數(shù)值方法和強大的前后處理功能，在航空航天、汽車設計、石油天然氣和渦輪機設計等方面都有著廣泛的應用。由于采用了多種求解方法和多重網(wǎng)格加速收斂技術，因而FLUENT能達到最佳的收斂速度和求解精度。　 FLUENT軟件的特點： 　　 FLUENT軟件采用基于完全非結構化網(wǎng)格的有限體積法，而且具有基于網(wǎng)格節(jié)點和網(wǎng)格單元的梯度算法；定常/非定常流動模擬，而且新增快速非定常模擬功能； 圖 Fluent 前處理網(wǎng)格劃分FLUENT軟件中的動/變形網(wǎng)格技術主要解決邊界運動的問題，用戶只需指定初始網(wǎng)格和運動壁面的邊界條件，余下的網(wǎng)格變化完全由解算器自動生成。其局部網(wǎng)格重生式是FLUENT所獨有的，而且用途廣泛，可用于非結構網(wǎng)格、變形較大問題以及物體運動規(guī)律事先不知道而完全由流動所產(chǎn)生的力所決定的問題； 　　FLUENT軟件具有強大的網(wǎng)格支持能力，支持界面不連續(xù)的網(wǎng)格、混合網(wǎng)格、動/變形網(wǎng)格以及滑動網(wǎng)格等。湍流模型包含SpalartAllmaras模型、kω模型組、kε模型組、雷諾應力模型(RSM)組、大渦模擬模型(LES)組以及最新的分離渦模擬(DES)和V2F模型等。 Fluent的優(yōu)點(1)適用面廣 包括各種優(yōu)化物理模型，如計算流體流動和熱傳導模型 (包括自然對流、定常和非定常流動，層流，湍流，紊流，不可壓縮和可壓縮流動，周期流，旋轉流及時間相關流等 ) 。對每一種物理問題的流動特點，有適合它的數(shù)值解法，用戶可對顯式或隱式差分格式進行選擇，以期在計算速度、穩(wěn)定性和精度等方面達到最佳。 (3)污染物生成模型 包括NOX 和ROX(煙塵 )生成模型。而ROX 的生成是通過使用兩個經(jīng)驗模型進行近似模擬，且只使用于紊流。也可以用ICEM CFD進行前處理，由TecPlot進行后處理。可應用的范圍有紊流、熱傳、化學反應、混合、旋轉流及震波等。 　 Fluent求解器本身就附帶有比較強大的后處理功能。 RPIM無網(wǎng)格法的基本原理 引自張雷、黃天佑、沈厚發(fā)、柳百成《配點型無網(wǎng)格法及其迭代求解在導熱微分方程中的應用》由于徑向基函數(shù)的連續(xù)可微性，將由其近似表示的場函數(shù)及各階導數(shù)直接代入邊值問題的微分方程或邊界條件即可建立求解待定系數(shù)向量a的代數(shù)方程組。邊值問題的一般提法可以表示為：其中L和B為線性算子。在 N 個離散點配點xk（k= l，2，?，N）上使用方程（），則建立的 N 個方程為 k=1,2……N 進一步可用矩陣表示為： Sa = g 其中，是NN的方陣：，為待求的系數(shù)向量；，是給定的右端向量。緊支域越小，帶寬越??；反之亦然。1971年，HARDY[35]提出了多重二次法，用于散點曲面插值擬合（MQ），之后，經(jīng)FRANKE[36]對29種散點數(shù)據(jù)插值方法進行了綜合比較，認為MQ法是一種效果最好的插值方法。直接配置法是典型的配點型無網(wǎng)格法，主要用MQ徑向基函數(shù)（RBFMQ）來逼近未知函數(shù)，然后在求解區(qū)域內(nèi)部和邊界選定一定數(shù)量的配點，強迫未知函數(shù)在這些配點上滿足控制方程或者邊界條件。但是，RBF－MQ函數(shù)帶有全域性質，因此形成的系數(shù)矩陣是非帶狀的滿陣，當插值點的個數(shù)N太大的時候，會造成系數(shù)矩陣產(chǎn)生嚴重的病態(tài)，使問題復雜化。這一系列新的具有緊支特性的徑向基函數(shù)，使得系數(shù)矩陣稀疏，大大降低了計算的復雜性，也使得配點型無網(wǎng)格法具有了更廣闊的應用空間。 迭代法的求解精度相對于沒有采用迭代的無網(wǎng)格法略有降低，但其整體計算誤差可以滿足實際工程計算需要。徑向基配點的不重疊型Schwarz交替法與全域上的徑向基配點法相比：前者在計算時問上比后者少，且減小了系數(shù)矩陣的條件數(shù)，計算精度也好于后者。 RPIM無網(wǎng)格法軟件設計與實現(xiàn) 1）所用到的方程如下： 2）通過建立RPIM形函數(shù)的方式離散控制方程。具體步驟如下所示：圖 有網(wǎng)格法無網(wǎng)格法計算流程比較 3．后臺階流場有網(wǎng)格法和無網(wǎng)格法數(shù)值模擬 模擬對象、工況與邊界條件 模擬對象是J R．Fessler和J K Eaton(1999)[41]測量的后臺階兩相流場，表1后臺階流場參數(shù)的設置臺階高度H測量區(qū)域寬度測量區(qū)域長度流場的進口寬度10cm14H 數(shù)值模擬為外掠流場的定常不可壓粘性流體，數(shù)值模擬的流體對于不同雷諾數(shù)采用不同的層流模型和湍流模型，網(wǎng)格數(shù)10040，雷諾數(shù)的定義： ()其中u為特征速度，l為特征長度，μ為運動學粘性系數(shù)，流體密度；常溫下，空氣的密度為：,粘性系數(shù)μ=103pa當Re=200時，易得u=,。 圖 收斂圖。從云