【正文】 ? ?? ? ? (13) 整理上式，則得： 22z oo uuA K u C AZ t t? ?? ??? ? ?? ? ? (14) 根據(jù)材料力學知識可知： z ZuE? ?? ? (15) 式中： E—— 樁的彈性模量（ MPa） 對（ 15）式求導，則得： 22zZZuE?? ???? (16) 將（ 16）式代入（ 14）式，則得樁軸向振動微分方程： 22oo zu u uA C K u A Ett? ? ? ?? ? ?? ? ? (17) 若不考慮樁側土影響，即 ： Co=0、 Ko=0，則（ 17）式變成為下式： 222ZuuCt??? (18) 式中： EC?? (19) 分析 (19)式可知：縱波在樁身內(nèi)的傳播速度 C（簡稱縱波速度）與樁身彈性模量 E 的平方根成正比；與樁身質(zhì)量密度 ? 的平方根成反比。然而，目前理論上還未得到縱波速度與強度之間的關系式。表 (1)中所列各種混凝土樁型縱波速度與強度之間的關系，是筆者根據(jù)多年實踐取得的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，僅供參考。同一 強度的混凝土樁，在不同的工程中，由于上述各種因素相異，可能呈現(xiàn)不同的縱波速度值。 (2) 樁軸向振動微分方程 的 求解 1) 無樁側土 公式 (18)即無樁側土情況下樁軸向振動微分方程。 12 (20)式對 t、 Z 分別作求導，則得： z i z i z i z iu U M sin t N c o s tt ? ? ? ?? ?? ( + ) (21a) 2 22z i z i z i z i2u U M c o s t N s in tt ? ? ? ?? ?? ( ) (21b) z i z iuU M c o s t+ N s in tZZ ????? () (21c) 22z i z i22uU M c o s t+ N s in tZZ ????? () (21d) 將式 (21b)、 (21d)代入 (18)式，則得樁軸向振動的振型微分方程： 2222U 0ZCzi U?? ??? (22) (22)式的解可以寫成下式： 39。c os si nzi ziZZU M NCC???? (23) (23)式為樁軸向振動振型表達式，其中： M’、 N’為與樁端邊界條件有關的待定常數(shù)。U sin ziZN C?? (24) (24)式對 Z 求導，則得： 39。 cos 0Li LiLN CC?? ? 因為 (23)式有解， N’≠ 0，且 LiC?≠ 0，則： cos 0LiLC? ? (26) 若要使 (26)式成立，則： Li 2iCL?? ?， i=1， 3， 5...... (27) ?Li=4iCL， i=1， 3， 5...... (28) (27)、 (28)式中： Li? 、 ?Li分別為完整樁在無樁側土條件下樁端固定、樁頭自由時軸向振動固有園頻率 (rad/S)、固有周頻率 (Hz)。 根據(jù) (28)式，可得完整樁軸向相鄰固有周頻率差值 △ ?Li(Hz)： △ ?Li=2CL (29) 圖 (11) 樁頂、樁端邊界條件（無樁側土） b) 樁端自由（樁端沉汙、脫空）、樁頂自由 邊界條件 [見圖（ 11） ]： Z=0 U 0Z? ?? Z=L U 0Z? ?? 14 對 (23)式求導則得： 39。sin c o sZ z i z i z i z iZZU MNC C C C? ? ? ?? ? ? ?? (30) 將 Z=0， 0ZU? ??代入（ 30）式，則得 N’=0， (30)式變成為： 39。 sin 0Li Li LMCC???? (32) 因為（ 23）式有解， M’≠ 0，且 0LiC? ?，則： sin 0LiLC? ? (33) 若要使（ 33）式成立，則： Li iCL?? ?， i=1， 2， 3…… (34) ?Li=2iCL ， i=1， 2， 3…… (35) (34)、 (35)式中： Li? 、 ?Li分別為完整樁在無樁側土條件下樁端自由、樁頂自由時軸向振動固有園頻率 (rad/S)、固有周頻率 (Hz)。 若將 (29)、 (36)式中樁長 L 改成為缺陷至樁頂?shù)木嚯x Lri，則 (29)、 (36)式就變?yōu)樯虾Ｊ泄こ探ㄔO規(guī)范 《 建筑基樁檢測技術規(guī)程 》（ DGJ08—218—2020）中 ()式 ，即： 2ri riCL f? ? 式中： riL —— 缺陷至樁頂?shù)木嚯x (m)； rif? —— 缺陷樁相鄰波峰之間的頻率差 平均值 (Hz)； 15 C —— n根完整樁縱波速度的平均值 (m/s)， n≥ 5。 2) 有樁側土 前述 (17)式為有樁側土時樁軸向振動微分方程。 a) 樁頂 、樁端的邊界條件 按受力機理，樁可以分成三種：純摩擦樁、端承樁和摩擦樁，如圖（ 12）所示。 ○ 1 純摩擦樁 由于，鉆孔灌注樁樁端沉汙未清除或預制樁樁側土上抬至使樁端脫空，樁頂荷載 Q 全部由樁側摩阻力 Q?承擔，即 Q=Q?，稱這種樁為純摩擦樁。 ○ 2 端承樁 樁端嵌固在堅固的巖層中，并可不計樁身的壓縮變形產(chǎn)生的樁側 土 阻力，樁頂荷載 Q 全部由樁端的支撐力 Qp 承擔，即 Q=Qp, 稱這種樁為端承樁。 ○ 3 摩擦樁 樁端支承在中等堅硬的土層中，樁頂荷載 Q 由 樁側摩 土 阻力 Q?、樁端支承力 Qp 共同承擔，即 Q=Q?+Qp，稱這種樁為摩擦樁。上海地區(qū)所采用的鉆孔灌注樁、預制樁屬摩擦樁， Qp/Q 之比約在 25%左右，其樁頂、樁端邊界條件為 ： 樁頂： Z=L， 0ZU? ?? ； 樁端： Z=0， U 0Z? ?? ， U0? ， 0K? ?? 。對于摩擦樁 ，樁的軸向固有頻率 fLi、即使在無樁側土（ KO=0、 CO=0）時，其表達式也相當復雜。由完整樁軸向相鄰固有頻率差值 △? Li分析得到的缺陷樁缺陷段軸向相鄰固有頻率差值 △? ri，也不可能恒為 △? ri。 (3) 實例 18 例 1：某混凝土預制樁，樁端進入巖層（可認為是固定端），樁長 L=10m，樁截面尺寸 F=300mm 300mm，在有樁側土和無樁側土情況下，實測前五階固有頻率及其相鄰固有頻率差值，詳見表（ 3）、表（ 4）： 表 (3) 樁周土對固有頻率的影響 固有頻率 樁側土類 第 1 階 (HZ) 第 2 階 (HZ) 第 3 階 (HZ) 第 4 階 (HZ) 第 5 階 (HZ) 無樁側土 66 195 324 451 575 軟塑粘土 86 204 330 455 576 可塑粘土 93 207 332 456 577 表 (4) 樁周土對相鄰固有頻率差的影響 相鄰固有 頻率差 樁側土類 第 2 階 (HZ) 第 3 階 (HZ) 第 4 階 (HZ) 第 5 階 (HZ) 無樁側土 129 129 127 124 軟塑粘土 118 126 125 121 可塑粘土 114 125 124 121 分析表 (3)、表（ 4）可知： 1) 有 、 無樁側土，對樁的第 1 階固有頻率影響很大，有樁側土的第 1 階固有頻率比無樁側土高約 30%~40%，并因此影響第 2 階相鄰固有頻率差值。 例 2：樁型及尺寸完全與例 1 中的混凝土方樁相同，樁端進入硬塑粘土，樁側土分別為硬塑、可塑及軟塑粘土時，實測前五階固有頻率、相鄰固有頻率差值，詳見表（ 5）、表（ 6）。 2 ） 在應用 上 海 市 工 程 建 設 規(guī) 范 《 建 筑 基 樁 檢 測 技 術 規(guī) 程 》（ DGJ08—218—2020）中 ()式 ，確定缺陷距樁頂?shù)木嚯x Lri 時，缺陷樁相鄰固有頻率的差值，宜取第 2 階以后的相鄰固有頻率差值 △? ri的平均值。 圖中： V——質(zhì)點振動速度 (mm/s), Lif ——完整樁軸向振動固有頻 率 （ Hz）， Lif? ——完 整 樁 軸向振動相鄰固有頻率的差值 (Hz )； ,2LCfLi ??C 為縱波速度 （ )/Sm ， L 為完整樁長 (m)， 圖 (13) 有樁端反射波信號的幅頻曲線 2) 無樁端反射