【正文】 t? ?? ??? ? ?? ? ? (14) 根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)可知： z ZuE? ?? ? (15) 式中： E—— 樁的彈性模量（ MPa） 對(duì)（ 15）式求導(dǎo)，則得： 22zZZuE?? ???? (16) 將（ 16）式代入（ 14）式，則得樁軸向振動(dòng)微分方程： 22oo zu u uA C K u A Ett? ? ? ?? ? ?? ? ? (17) 若不考慮樁側(cè)土影響，即 ： Co=0、 Ko=0，則（ 17）式變成為下式： 222ZuuCt??? (18) 式中： EC?? (19) 分析 (19)式可知：縱波在樁身內(nèi)的傳播速度 C（簡(jiǎn)稱縱波速度）與樁身彈性模量 E 的平方根成正比；與樁身質(zhì)量密度 ? 的平方根成反比。 11 (19)式在理論上表明了縱波速度 C 與樁身彈性模量 E、質(zhì)量密度 ? 之間的關(guān)系。然而，目前理論上還未得到縱波速度與強(qiáng)度之間的關(guān)系式。但是，從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)縱波速度與強(qiáng)度之間存在正相關(guān)關(guān)系，即混凝土樁的縱波速度值大，其強(qiáng)度值高。表 (1)中所列各種混凝土樁型縱波速度與強(qiáng)度之間的關(guān)系，是筆者根據(jù)多年實(shí)踐取得的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，僅供參考。 表 (1) 混凝土樁縱波速度 (m/s)與強(qiáng)度之間的關(guān)系 混凝土強(qiáng)度 樁型 C25 C30 C35 C40 C60 C80 灌注樁 3200~3400 3400~3600 3600~3800 3800~4000 實(shí)心預(yù)制方樁 3800~4000 空心預(yù)制方樁 4100~4200 高強(qiáng)度預(yù)應(yīng)力管樁 4200~4300 實(shí)踐中還發(fā)現(xiàn)影響混凝土樁縱波速度的因素除強(qiáng)度外，粗骨料的品種和粒徑、含水率、添加劑的品種和數(shù)量、鋼筋的排列、成樁工藝和養(yǎng)護(hù)方法等對(duì)其亦有不同程度的影響。同一 強(qiáng)度的混凝土樁，在不同的工程中，由于上述各種因素相異，可能呈現(xiàn)不同的縱波速度值。既然如此，就不能用低應(yīng)變實(shí)測(cè)所得的縱波速度值去推算樁身混凝土強(qiáng)度。 (2) 樁軸向振動(dòng)微分方程 的 求解 1) 無(wú)樁側(cè)土 公式 (18)即無(wú)樁側(cè)土情況下樁軸向振動(dòng)微分方程。對(duì)于具有一定邊界條件的有限長(zhǎng)混凝土樁，可以用分離變量法求解 (18)式，解可以寫成如下三角函數(shù)的形式： z i z iu U M c o s t+ N s in t)??? ( (20) 式中： u—— 樁軸向振動(dòng)位移（ m）， U —— 樁軸向振動(dòng)位移幅值（ m）， zi? —— 樁軸向固有振動(dòng)園頻率（ rad/S） , t—— 時(shí)間（ S）， M、 N—— 待定常數(shù)。 12 (20)式對(duì) t、 Z 分別作求導(dǎo)，則得： z i z i z i z iu U M sin t N c o s tt ? ? ? ?? ?? ( + ) (21a) 2 22z i z i z i z i2u U M c o s t N s in tt ? ? ? ?? ?? ( ) (21b) z i z iuU M c o s t+ N s in tZZ ????? () (21c) 22z i z i22uU M c o s t+ N s in tZZ ????? () (21d) 將式 (21b)、 (21d)代入 (18)式，則得樁軸向振動(dòng)的振型微分方程： 2222U 0ZCzi U?? ??? (22) (22)式的解可以寫成下式： 39。39。c os si nzi ziZZU M NCC???? (23) (23)式為樁軸向振動(dòng)振型表達(dá)式，其中： M’、 N’為與樁端邊界條件有關(guān)的待定常數(shù)。 a) 樁端固定（樁端嵌入堅(jiān)固的巖層）、樁頂自由 邊界條件 [見(jiàn)圖（ 11） ]： Z=0 U =0 Z=L U 0Z? ?? 將 Z=0、 U =0 代入 (23)式，則得： M’=0， (23)式變成為： 39。U sin ziZN C?? (24) (24)式對(duì) Z 求導(dǎo)，則得： 39。U c o szi ziZNZ C C??? ?? (25) 將 Z=L、 U 0Z? ?? 代入 (25)式，則得： 13 39。 cos 0Li LiLN CC?? ? 因?yàn)?(23)式有解， N’≠ 0，且 LiC?≠ 0，則： cos 0LiLC? ? (26) 若要使 (26)式成立，則： Li 2iCL?? ?， i=1， 3， 5...... (27) ?Li=4iCL， i=1， 3， 5...... (28) (27)、 (28)式中： Li? 、 ?Li分別為完整樁在無(wú)樁側(cè)土條件下樁端固定、樁頭自由時(shí)軸向振動(dòng)固有園頻率 (rad/S)、固有周頻率 (Hz)。連續(xù)質(zhì)量分布的樁，軸向有無(wú)限個(gè)固有頻率。 根據(jù) (28)式，可得完整樁軸向相鄰固有周頻率差值 △ ?Li(Hz)： △ ?Li=2CL (29) 圖 (11) 樁頂、樁端邊界條件（無(wú)樁側(cè)土） b) 樁端自由（樁端沉汙、脫空）、樁頂自由 邊界條件 [見(jiàn)圖（ 11） ]： Z=0 U 0Z? ?? Z=L U 0Z? ?? 14 對(duì) (23)式求導(dǎo)則得： 39。39。sin c o sZ z i z i z i z iZZU MNC C C C? ? ? ?? ? ? ?? (30) 將 Z=0， 0ZU? ??代入（ 30）式，則得 N’=0， (30)式變成為： 39。 si nZ zi zi ZU M CC??? ??? (31) 將 Z=L、 U 0Z? ?? 代入（ 31）式，則得： 39。 sin 0Li Li LMCC???? (32) 因?yàn)椋?23）式有解， M’≠ 0，且 0LiC? ?，則： sin 0LiLC? ? (33) 若要使（ 33）式成立，則： Li iCL?? ?， i=1， 2， 3…… (34) ?Li=2iCL ， i=1， 2， 3…… (35) (34)、 (35)式中： Li? 、 ?Li分別為完整樁在無(wú)樁側(cè)土條件下樁端自由、樁頂自由時(shí)軸向振動(dòng)固有園頻率 (rad/S)、固有周頻率 (Hz)。 根據(jù) (35)式，可得完整樁相鄰固有周頻率差值 △ ?Li： △ ?Li=2CL (36) 分析 (29)、 (36)式可知，在無(wú)側(cè)土、樁頂自由條件下，不管樁端是嵌固還是自由，樁軸向振動(dòng)相鄰固有周頻率的差值 △ ?Li均為 C/2L。 若將 (29)、 (36)式中樁長(zhǎng) L 改成為缺陷至樁頂?shù)木嚯x Lri，則 (29)、 (36)式就變?yōu)樯虾Ｊ泄こ探ㄔO(shè)規(guī)范 《 建筑基樁檢測(cè)技術(shù)規(guī)程 》（ DGJ08—218—2020）中 ()式 ，即： 2ri riCL f? ? 式中： riL —— 缺陷至樁頂?shù)木嚯x (m)； rif? —— 缺陷樁相鄰波峰之間的頻率差 平均值 (Hz)； 15 C —— n根完整樁縱波速度的平均值 (m/s)， n≥ 5。 在這里應(yīng)說(shuō)明的是：注腳符號(hào) i，不是上面所指的 i階頻率，而是指第 i根樁，Lri意指第 i根缺陷樁缺陷距樁頂?shù)木嚯x。 2) 有樁側(cè)土 前述 (17)式為有樁側(cè)土?xí)r樁軸向振動(dòng)微分方程。根據(jù)樁頂、樁端的邊界條件，應(yīng)用超越方程可求得軸向振動(dòng)固有頻率。 a) 樁頂 、樁端的邊界條件 按受力機(jī)理，樁可以分成三種：純摩擦樁、端承樁和摩擦樁，如圖（ 12）所示。 圖 (12) 三種樁型受力機(jī)理、邊界條件 圖中： Q—— 樁頂軸向荷載 (kN)； Qf—— 樁側(cè)土摩阻力 (kN)； Qp—— 樁端支承力 (kN)； K —— 樁端剛度比（無(wú)量綱） ； 樁端剛度比 K 按下式計(jì)算： gcKKK? (37) 16 式中： Kg—— 樁端土的抗壓剛度 (kN/m)； Kc—— 樁身抗壓剛度 (kN/m), Kc= EAL， E、 A、 L 分別為樁的彈性模量、截面積、樁長(zhǎng)。 ○ 1 純摩擦樁 由于，鉆孔灌注樁樁端沉汙未清除或預(yù)制樁樁側(cè)土上抬至使樁端脫空，樁頂荷載 Q 全部由樁側(cè)摩阻力 Q?承擔(dān)，即 Q=Q?，稱這種樁為純摩擦樁。純摩擦樁的樁頂、樁端邊界條件為 ： 樁頂： Z=L， 0ZU? ?