重積分的概念及其計(jì)算法-在線瀏覽
2025-06-17 12:24本頁面
【正文】 22 ??? zzyx 與平面曲面??????1)( 221 dvyxI ?? ??12823Dr dzdr dr ?，?345?積分區(qū)域 如圖， ?，422 ?? yx2D1D?? ??22223Dr dzdr dr ?，?625?21 III ???2222 ??? zzyx 與平面曲面所圍立體 Ω2在 xoy 面上的投影區(qū)域 D2為： ??????2)( 222 dvyxI.3 3 6623455??? ???四、三重積分的球面坐標(biāo)計(jì)算法 0 x z y M(r,?,?) r ? ? N y x z 空間任一點(diǎn) M 還可用 球面坐標(biāo) ． 由圖可知直角坐標(biāo)與 為常數(shù)r為常數(shù)?為常數(shù)?圓錐面； 球 面； 半平面． ，???? r0.20 ????，?? ??0且 ????????．，?????c o ss i ns i nc o ss i nrzryrx球面坐標(biāo)的關(guān)系 : 來表示．有序數(shù)組 ),( ??r的也稱為點(diǎn) Mr ),( ??可以證明球面坐標(biāo)系下的 體積元素 為 : ．??? dddrrdv s i n2?從而在球面坐標(biāo)系下三重積分可表示為 ???????? dd r drrrrf????? s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2?????dvzyxf ),(.s i n),( 2 ????? dd r drrF?????).c o s,s i ns i n,c o ss i n(),( ??????? rrrfrF ?其中為三次積分，化三重積分例 dvzyxfI ????? ),(10.2222 Rzyx ???? ：其中解 一、直角坐標(biāo)系下 .),(2222222222 ?????????????yxRyxRxRxRRR dzzyxfdydxI二、柱面坐標(biāo)系下 .),s i n,c o s(22 22020 ??? ? ??? rR rRR dzzrrfdrrdI ????三、球面坐標(biāo)系下 .)c o s,s i ns i n,c o ss i n(s i n 0 2020 ???? R drrrrrfddI ???????? ??例 11 計(jì)算 ?????? d x d y d zyxI )( 22 , 其中 ? 是圓錐面222 zyx ?? 與平面 az ? )0( ?a 所圍的立體 . 解 1 采用球面坐標(biāo) az ?? ，?c o sar ??222 zyx ?? ，4?? ??．，： ????? c o s04020 ar ?????????????? d x d y d zyxI )( 22drrdda? ??? 40 c o s0 3420 s i n??? ??? .105a??解 2 采用柱面坐標(biāo) ，222: ayxD ?? ?????? d x d y d zyxI )( 22 ???? ara dzrr rd 2020 ? ?? ?? a drrar0 3 )(2 ? ]54[254 aaa ??? ? .10 5a??222 zyx ??? ，rz ??．， azrar ??????? 020: ??例 12 求曲面 2222 2 azyx ??? 與 22 yxz ?? 所圍 成的立體體積 . 解 ? 由 錐 面 和 球 面 圍 成 ， 采 用 球 面 坐 標(biāo) ， 由 2222 2 azyx ??? ，ar 2??22 yxz ?? ，4?? ??．， ar 204020: ??????? ?????????? d x d y d zV ???? a drrdd 20 2020 s i n4 ??? ??? ?? 4033)2(s i n2 ? ??? da.)12(34 3a?? ?例 13 連續(xù)且大于零，且設(shè)函數(shù) )( xf，????????? ?)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF? ，?????? tttDdxxfdyxftG)()()(2)(22 ?．：，：其中 2222222 )()( tyxtDtzyxt ??????內(nèi)的單調(diào)性．在討論 ),0()()1( ??tF)2022()(2)(0)2( ．時(shí)，證明當(dāng) tGtFt ???解 (1) ?????? ttdrrfrddrrfrddtF0220022020)()(s i n)( ???????? ，??? ttdrrfrdrrfr02022)()(220202220222))(()()()()(2)(??? ??? tttdrrfrdrrfrttfdrrrftfttF202022))(()()()(?? ?? ttdrrfrdrrfrtrttf，內(nèi)所以在 0)(),0( ???? tF 內(nèi)的單調(diào)增加．在 ),0()( ??tF例 13 連續(xù)且大于零，且設(shè)函數(shù) )( xf，????????? ?)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF? ，?????? tttD
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