【正文】 2 9{ 2 } 0 . 0 4 1 ,1 2 1 1 1 0PX ? ? ? ? ? 10 于是，得到 X 的分布律為： 則有 : 39{ 1 } 0 . 2 0 4 ,1 2 1 1PX ? ? ? ?3 2 1 9{ 3 } 0 . 0 0 5 .1 2 1 1 1 0 9PX ? ? ? ? ? ?X 0 1 2 3 P ( ) 0 0 . 7 5 0 1 0 . 2 0 4 2 0 . 0 4 1 3 0 . 0 0 50 . 3 0 1 .EX ? ? ? ? ? ? ? ??11 連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義 定義 2 設連續(xù)型隨機變量 X 的分布密度為()fx，若積分()?????x f x d x絕對收斂，則定義 X 的數(shù)學期望 為 ?)( XE ()????? x f x d x 數(shù)學期望簡稱 期望 ，又稱為 均值 。1 第三章 隨機變量的數(shù)字特征 2 167。 數(shù)學期望 引 例 數(shù)學期望的定義 某射擊運動員射擊結果如下： 10 10 9 9 9 8 8 8 8 8 則他的平均命中的環(huán)數(shù)為 1 0 2 9 3 8 510x? ? ? ? ??2 3 51 0 9 8 8 . 71 0 1 0 1 0? ? ? ? ? ? ?3 若用 X 表示他射擊時命中的環(huán)數(shù)，則 X 是一個隨機變量，其分布律可表示為 1{ 8 } ,2PX ??3{ 9 } ,10PX ??1{ 1 0 }5PX ??上面的 可理解為以概率為權數(shù)的 “ 加權 ” 平均值 x我們稱之為隨機變量的 “ 數(shù)學期望 ” 或 “ 均值 ” 。 12 例 4 均勻分布 則 ( ) ( ) d???? ?E X xf x x? ?? ba xxab d1 ).(21 ba ??1,()0 , .????? ???? 其 它a x bfx ba其概率密度為設 ),(~ baUX結論 均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點 . 13 , 0 ,( ) 0 .0 , 0 .????? ??????其 中xexfxx例 5 指數(shù)分布 則 ( ) ( )???? ?E X x f x d x0??? ???? xx e dx1 .??0 0?? ????? ? ? ?xxx e e d x某電子元件的壽命 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 (單位：小時 ),求這類電子元件的平均壽命 . 0 .0 0 1? ?由已知 ,X 的分布密度為 解 : 14 即這類電子元件的平均壽命為 1000小時 . 由 得： ??10001)( ??XE 指數(shù)分布 是常用的 “ 壽命分布 ” 之一，由上述計算可知，若一個電子元件的壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則它的平均壽命為 . ? 1?15 解 的分布律為X: ( ) , ( ) .E X E Y求例 6 設 (X ,Y ) 的聯(lián)合分布律為 X Y 1 2 301 10. .30. 10.Xp1 2 16 ( ) .= 1 0 . 3 2 0 . 4 3 0 . 3 2EY ? ? ? ? ? ?得Yp 1 2 的分布律為Y( ) .1 0 . 5 2 0 . 5 1 . 5EX ? ? ? ? ?得 事實上，我們不需要先求關于 X 和 Y 的邊緣分布律，可以直接由的聯(lián)合分布律求 X 和 Y 的數(shù)學期望。 當 X為連續(xù)型時 ,X的密度函數(shù)為 f(x). 推廣到兩個以上 ，見教材 . 23 該公式的重要性在于 : 當我們求 E[g(X)]時 , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便 . ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 124 例 8 設隨機變量 X 的分布律為 X 1 0 1 2 P ， 1 1YX??22 XY ? )( 1YE )( 2YE且 ， .試求： ， 解 :利用定理 1計算得： 1( ) ( 1 )E Y E X??[ ( 1 ) 1 ] 0 . 1 [0 1 ] 0 . 3 [ 1 1 ] 0 . 4[ 2 1 ] 0 . 2 1 . 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?同理， 2( ) 1 . 3?EY25 例 9 設隨機變量 X 的分布密度為 ???????0,00,)(xxexfx求 :(1) 。E X X E X X??(2)若設 相互獨立，求 12,XX 12()E X X解 (1) 1 2 1 22400( ) ( ) ( )24? ? ? ???? ? ?? ? ? ??? xxE X X E X E Xx e d x x e d x32 2 2 4 41100241 1 32 4 4? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?x x x xx e e x e e221 2 1 2240( 2 3 ) 2 ( ) 3 ( )12 3 42???? ? ?? ? ? ?? xE X X E X E Xx e dx2 4 4 411302835188? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ?x x xxx e e e(2) 33 (3)由 相互獨立，易得 12,XX814121)()()(2121 ????? XEXEXXE小 結 1. 數(shù)學期望是一個實數(shù) , 而非變量 ,它是一種 加權平均 , 與一般的平均值不同 ,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的 真正的平均值 . 34 ??????????????).()()(,4)。()(2。 方 差 ).(,)(}.)]({[)()(),()(,}])({[,})]({[,XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為為標準差或均方差稱即或記為的方差為則稱存在若是一個隨機變量設22222?????ss一、方差的定義 38 方差是一個非負值，常用來體現(xiàn)隨機變量 X取值的分散程度 .如果 D(X)值大 , 表示X 取值越分散 , E(X)的代表性差 。經(jīng)統(tǒng)計得 X 和 Y 的分布律如下： X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 P P 試問二人誰更穩(wěn)定些？ 解 由 得 2( ) 1 . 1 , ( ) 2 . 1??E X E X2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 2 . 1 1 . 1 0 . 8 9D X E X E X? ? ? ? ? 由 得 2( ) 1 . 1 , ( ) 2 . 3??E Y E Y2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 2 . 3 1 . 1 1 . 0 9D Y E Y E Y? ? ? ? ? 可見，二人平均水平相當，但甲更穩(wěn)定些。 解 利用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)得 * 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E Xmmss? ? ? ? ?222* * *( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]XD X E X E X E ms?? ? ?22221 [ ( ) ] 1EX smss? ? ? ?49 我們稱數(shù)學期望為 0，方差為 1的變量為 標準化變量 ，且稱 為隨機變量的 標準化 。 * XX ms??50 167。X Y E X Y E X E Y??常用作協(xié)方差的計算公式 53 例 1 設二維隨機變量 的聯(lián)合分布律為 ( , )XYXY0 1 0 q 0 1 0 p 其中 ，求 . 1pq?? c o v ( , )XYX Y XYPq p Pqp Pqp1 0 1 0 1 0 解 由已知易得 X,Y 以及 XY 的分布律分別為 54 進一步有 ( ) ,E X p? ( ) ,E Y p? ()E X Y p?于是 c o v ( , ) ( ) ( ) ( )X Y E X Y E X E Y??p p p? ? ?pq?55 例 2 設二維隨機變量 (X ,Y )的概率密度函數(shù)為 0 1 , 0 1( , )0x y x yf x y? ? ? ? ??? ?? 其 它求 ， . c o v ( , )XY ()D X Y?解 因為 7( ) ( , )12? ? ? ?? ? ? ?????E X x f x y d x d y11007( ) ( )12? ? ? ???E X y x y d x d y11001( ) ( )3E X Y x y x y d x d y? ? ? ???56 所以 1c o v ( , ) ( ) ( ) ( ) 144? ? ? ?X Y E X Y E X E Y又 1122005( ) ( ) ,12E X x x y d x d y? ? ? ???22 11( ) ( ) [ ( ) ]144D X E X E X? ? ?利用對稱性易得， 11()144DY ?所以 ( ) ( ) ( ) 2 c o v ( , )536? ? ? ??D X Y D X D Y X Y57 相關系數(shù) 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了 X 和 Y 相互間的關系，但它還受 X 與 Y 本身度量單位的影響 . 例如 Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 為了消除量綱的影響，我們可將隨機變量標準化 . )()(